વિધાર્થીના પાંચ પરીક્ષાના માર્કસ આ મુજબ છે  : \(45, 54, 41, 57, 43\). જો તેની છઠ્ઠી પરીક્ષાના માર્ક ખબર નથી  જો છ પરીક્ષાના માર્કસનો મધ્યક \(48\)  હોય તો છ પરીક્ષાના માર્કસનું પ્રમાણિત વિચલન મેળવો.

\({\left( {1 + {x^n} + {x^{253}}} \right)^{10}}\) ના વિસ્તરણમાં \(x^{1012}\) સહગુણક કેટલો થાય ? (જ્યાં \(n \leq 22\) એ કોઈ પણ ધન પૃણાંક છે )

ધારો કે  \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots \ldots . .\) એ એવા ચોરસો છે કે જેથી પ્રત્યેક \(n \geq 1,\) માટે \(A _{ n }\) ની બાજુંની લંબાઈ બરાબર \(A _{ n +1}\). નાં વિકર્ણની લંબાઈ થાય. જો \(A_1\) ની લંબાઈ \(12\) સેમી. હોય, તો \(A_n\) ક્ષેત્રફળ એક કરતાં ઓછું થાય તેવું \(n\) નું નાનામાં નાનું મૂલ્ય ........ છે.

ધારો કે \(A=\{(x, y): 2 x+3 y=23, x, y \in \mathbb{N}\}\) અને \(B=\{x:(x, y) \in A\}\). તો \(\mathrm{A}\) થી \(\mathrm{B}\) તરફના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા ............ છે.

\(\lambda \) ની કિમંતોનો ગણ . . . . થાય જો સુરેખ સમીકરણો  \(x - 2y - 2z = \lambda x\) ; \(x + 2y + z = \lambda y\) ; \(-x - y = \lambda z\) એ શૂન્યતર ઉકેલ હોય.

રેખાઓ \(\overrightarrow{ r }=(\hat{ i }-\hat{ j })+\ell(2 \hat{ i }+\hat{ k })\) અને \(\overrightarrow{ r }=(2 \hat{ i }-\hat{ j })+ m (\hat{ i }+\hat{ j }-\hat{ k })\)

જો રેખા \(\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\) ની સાપેક્ષે, બિંદુ  \(\mathrm{P}(3,4,9)\) નું આરસી પ્રતિબિંબ \((\alpha, \beta, \gamma)\) હોય, તો \(14(\alpha+\beta+\gamma) =\) ...........

ધારો કે \(a\) એવો પૂર્ણાંક છે કે જેથી \(\lim _{x \rightarrow 7} \frac{18-[1-x]}{[x-3 a ]}\) નું અસ્તિત્વ હોય, જ્યાં \([ t ]\) એ \(t\) થી નાના અથવા \(\leq t\) ને સમાન તમામ પુર્ણકોમાં મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો \(a =\dots\dots\)

ધારો કે વર્તુળ \(C\) રેખા \(x-y+1=0\) ને સ્પર્શે છે, જેનું કેન્દ્ર ધન x-અક્ષ પર છે, અને રેખા \(-3 x+2 y=1\) પર \(\frac{4}{\sqrt{13}}\) લંબાઈનો જીવાખંડ કાપે છે. ધારો કે H એ અતિવલય \(\frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=1\) છે, જેનું એક કેન્દ્રબિંદુ \(C\) નું કેન્દ્ર છે અને અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ \(C\) ના વ્યાસ જેટલી છે. તો \(2 \alpha^2+3 \beta^2\) = __________

રેખાઓ \(x=a y-1=z-2\) અને \(x=3 y-2=b z-2,(a b \neq 0)\) સમતલીય થવા માટે   .. .  . 

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.

રેખાઓ \(\vec{r}=\left(\dfrac{1}{3}\hat{i}+2\hat{j}+\dfrac{8}{3}\hat{k}\right)+\lambda(2\hat{i}-5\hat{j}+6\hat{k})\) અને \(\vec{r}=\left(-\dfrac{2}{3}\hat{i}-\dfrac{1}{3}\hat{k}\right)+\mu(\hat{j}-\hat{k})\), \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\), વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર છે:

અહી સંબંધ \(R\) એ ગણ \(\{1,2,3 \ldots \ldots \ldots, 60\}\) પર આપેલ છે કે જેથી  \(R =\{( a , b ): b = pq\), કે જ્યાં  \(p , q \geq 3\) એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. \(\}\). તો \(R\) માં ઘટકોની સંખ્યા મેળવો.