સંકલન \(\int_0^\pi \frac{(x+3) \sin x}{1+3 \cos ^2 x} d x\) = ___

જો \({Z_1} \ne 0\) અને  \(Z_2\) એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી  \(\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}}\) શુધ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા થાય તો \(\left| {\frac{{2{Z_1} + 3{Z_2}}}{{2{Z_1} - 3{Z_2}}}} \right|\) ની કિમત મેળવો. 

જો વર્તુળનું સમીકરણ \( lm\,\left( {\frac{{iz - 2}}{{z - i}}} \right) + 1 = 0\,,z \in C\,,z \ne i\)  હોય તો વર્તુળ ની ત્રિજ્યા મેળવો. 

જો  \(S _{1}, S _{2}\) અને \(S _{3}\) એ ત્રણ ગણ છે કે જે  \(S _{1}=\{ z \in C :| z -1| \leq \sqrt{2}\}\) ; \(S  _{2}=\{ z \in C : \operatorname{Re}((1- i ) z ) \geq 1\}\); \(S _{3}=\{ z \in C : \operatorname{Im}( z ) \leq 1\}\) રીતે આપેલ છે તો ગણ \(S _{1} \cap S _{2} \cap S _{3}\) મેળવો.

ધારોકે \(B _{i}(i=1,2,3)\) એ એકજ નિદર્શાવકાશની ત્રણ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે. માત્ર \(B _{1}\) ઉદ્દભવે તેની સંભાવના \(\alpha\) માત્ર \(B _{2}\) ઉદ્દભવે તેની સંભાવના \(\beta\) અને માત્ર \(B _{3}\) ઉદ્દભવે તેની સંભાવના \(\gamma\) છે. \(B _{i}\) પૈકીની એકપણ ઘટના ન ઉદ્ભવે તેની સંભાવનાં \(p\) છે અને આ \(4\) સંભાવનાઓ, સમીકરણો \((\alpha-2 \beta) p =\alpha \beta\) તથા \((\beta-3 \gamma) p =2 \beta \gamma\) નું સમાધાન કરે છે. (આ બધીજ સંભાવનાઓ અંતરાલ \((0, 1)\) માં આવેલ છે તેમ સ્વિકારેલ છે.) તો \(\frac{ P \left( B _{1}\right)}{ P \left( B _{3}\right)}=............\)

અંતરાલ \([-1,2]\) માં વિધેય \(f(x)=\left|x^2-x+1\right|+\left[x^2-x+1\right]\) નું નિરપેક્ષ ન્યૂનતમ મૂલ્ય \(..............\) છે.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{{x^2}}} - \,\cos \,x}}{{{{\sin }^2}\,x}}\)  = 

જો વિધેય \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}(1+|\cos x|) \frac{\lambda}{|\cos x|} & , 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \mu & , x=\frac{\pi}{2} \\ e^{\frac{\cot 6 x}{\cot 4 x }} & , \frac{\pi}{2} < x < \pi\end{array}\right.\) એ \(x=\frac{\pi}{2}\) પર સતત હોય,તો \(9 \lambda+6 \log _e \mu+\mu^6-e^{6 \lambda}=..............\)

અહી  \(a\) એ \(\left(1-2 x+2 x^2\right)^{2023}\left(3-4 x^2+2 x^3\right)^{2024}\) વિસ્તરણના બધાજ સહગુણકોનો સરવાળો છે અને  \(b=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\int_0^x \frac{\log (1+t)}{t^{2024}+1} d t}{x^2}\right)\) છે. જો સમીકરણો \(\mathrm{cx}^2+\mathrm{dx}+\mathrm{e}=0\) અને \(2 \mathrm{bx}^2+\mathrm{ax}+4=0\) ના બીજ સામાન્ય હોય અને \(c, d, e \in R\) હોય તો \(d: c: e\) ની કિંમત મેળવો.

જો સદીશો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને  \(\vec{c}\) એ એકમ સદીશો છે કે જેથી \(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{0} .\) જો \(\lambda=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{a}} \) અને  \(\overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}+\overrightarrow{\mathrm{c}} \times \overrightarrow{\mathrm{a}},\) તો \((\lambda, {\mathrm{\vec d}})\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

જો \(I_{m, n}=\int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} d x, m, n \geq 1\) અને \(\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} d x=\alpha I_{m, n}, \alpha \in R,\) તો \(\alpha=..... .\)

જો પરવલય  \(\mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}\) ની એક નાભીજીવા \(\mathrm{AB}\) નું એક અંત્યબિંદુ  \(\mathrm{A}\left(\frac{1}{2},-2\right)\) હોય તો બિંદુ \(\mathrm{B}\) આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવો.

જો \(A=\{x \in R:|x|<2\}\) અને \(B=\{x \in R:|x-2| \geq 3\}\) તો  .. .