સમીકરણ સંહતિને \(2{x_1} - 2{x_2} + {x_3} = \lambda {x_1}\;,\;2{x_1} - 3{x_2} + 2{x_3} = \lambda {x_2}\;\;,\;\; - {x_1} + 2{x_2} = \lambda {x_3}\) યોગ્ય ઉકેલ હોય તેવા બધાજ \(\lambda \) ઓનો ગણ . . . . . . છે.

અહી \(\mathrm{A}\) એ ફિક્સ બિંદુ \((0,6)\) છે અને \(\mathrm{B}\) એ ચલિત બિંદુ \((2 \mathrm{t}, 0)\) છે  અને  \(\mathrm{M}\) એ  \(\mathrm{AB}\) મધ્યબિંદુ છે અને \(\mathrm{AB}\) નો લંબદ્રીભાજકએ  \(\mathrm{y}\)-અક્ષને બિંદુ \(\mathrm{C}\) આગળ છેદે છે. તો \(\mathrm{MC}\) નું મધ્ય બિંદુ \(\mathrm{P}\) ના બિંદુપથનું સમીકરણ મેળવો.

બે સદિશો \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) નો વિચાર કરો. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને સમાંતર છે અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને લંબ છે. તો \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) નું મૂલ્ય શું છે?

વિધેય \(f(x) = \max\{6x, 2 + 3x^2\} + |x - 1|\left|\cos\left|x^2 - \dfrac{1}{4}\right|\right|\), \(x \in (-\pi, \pi)\) જે બિંદુઓ આગળ વિકલનીય નથી, તે બિંદુઓની સંખ્યા _____ છે.

જો પરવલય \(P\) નું શિરોબિંદુ \((2,3)\) અને નિયામિકા \(2 x+y=6\) છે. જો ઉપવલય \(E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b\) ની ઉત્કેન્દ્રિતા \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) છે અને પરવલય \(P\) ની નાભીમાંથી પસાર થાય છે. તો ઉપવલય \(\mathrm{E}\) ના નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો.

ધારોકે \([t]\) એ \(t\) અથવા તેનાથી નાનો મહ્તમ પૂર્ણાંક છે. ધારોકે \(A\) એ \(2310\) ના બધા અવિભાજ્ય અવયવોનો ગણ છે અને \(f: A \rightarrow \mathbb{Z}\) એ વિધેય \(f(x)=\left[\log _2\left(x^2+\left[\frac{x^3}{5}\right]\right)\right]\) છે. \(A\) થી \(f\) નાં વિસ્તાર પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા ............ છે.

જો રેખીય સમીકરણો  \(2x + 2y + 3z = a\) ; \(3x - y + 5z = b\) ; \(x - 3y + 2z = c\) કે જ્યાં \(a, b, c\) એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા  છે  તો સમીકરણોને એક કરતાં ઉકેલ માટે  . . ..

જો સમીકરણ સંહતિ
\(x + 5y + 6z = 4\),
\(2x + 3y + 4z = 7\),
\(x + 6y + az = b\)
ને અનંત ઉકેલો હોય, તો બિંદુ \((a, b)\) કઈ રેખા પર આવેલું છે?

ધારો કે \(\mathrm{H}_1: \frac{x^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1\) અને \(\mathrm{H}_2:-\frac{x^2}{\mathrm{~A}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~B}^2}=1\) બે અતિવલય છે, જેના નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે \(15 \sqrt{2}\) અને \(12 \sqrt{5}\) છે. ધારો કે તેમની ઉત્કેન્દ્રતા અનુક્રમે \(e_1=\sqrt{\frac{5}{2}}\) અને \(e_2\) છે. જો તેમના અનુપ્રસ્થ અક્ષોની લંબાઈનો ગુણાકાર \(100 \sqrt{10}\) હોય, તો \(25 \mathrm{e}_2^2\) = __________

જો સમાંતર શ્રેણીનું \(19^{th}\) પદ શૂન્ય થાય તો (\(49^{th}\) મુ પદ) : (\(29^{th}\) મુ પદ) મેળવો, 

ધારો કે પૂર્ણાકો \(n\) અને \(r\) માટે \(\left(\begin{array}{l} n \\ r \end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}{ }^{n} C _{ r }, & \text { if } n \geq r \geq 0 \\ 0, & \text { otherwise }\end{array}\right.\) છે. તો સરવાળા \(\sum_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{c}10 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}15 \\ k-i\end{array}\right)+\sum_{i=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}12 \\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}13 \\ k+1-i\end{array}\right)\) નું અસ્તિત્વ હોય, તેવી \(k\) ની મહત્તમ કિમત ...... છે.

એક પેટી કે જેમાં  \(10\) લાલ , \(30\) સફેદ, \(20\) વાદળી અને \(15\) નારંગી માર્બલ છે. તેમાથી બે માર્બલને એક પછી એક પુનરાવર્તન સહિત પેટી માંથી કાઢવામાં આવે છે તો પહેલો માર્બલ લાલ હોય અને બીજો માર્બલ સફેદ હોય તેની સંભાવના મેળવો.

જો \(A = \,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
1&1&0\\
1&1&1
\end{array}} \right]\) અને \(B = A^{20}\)  તો શ્રેણિક \(B\) ના પહેલા સ્તંભના ઘટકોનો સરવાળો મેળવો?