જો \([ x ]\) એ મહતમ પૃણાંક વિધેય દર્શાવે છે . જો  \(n \in N ,\left(1-x+x^{3}\right)^{n}=\sum_{j=0}^{3 n} a_{j} x^{j}\), તો  \(\sum_{j=0}^{\left[\frac{3 n}{2}\right]} a_{2 j}+4 \sum_{j=0}^{\left[\frac{3 n-1}{2}\right]} a_{2 j+1}\) ની કિમંત મેળવો.

વક્ર \(y = x^2 - 4\) નું ઉગમબિંદુથી ટૂંકામાં ટૂંકુ અંતર મેળવો.

ધારો કે \(\mathrm{E}: \frac{x^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{y^2}{\mathrm{~b}^2}=1, \mathrm{a}\gt\mathrm{b}\) અને \(\mathrm{H}: \frac{x^2}{\mathrm{~A}^2}-\frac{y^2}{\mathrm{~B}^2}=1\). E ના કેન્દ્રો અને H ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર \(2 \sqrt{3}\) છે. જો \(a-A=2\) હોય અને E તથા H ની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણોત્તર \(\frac{1}{3}\) હોય, તો તેમના નાભિલંબની લંબાઈઓનો સરવાળો = __________

સમતલ રસ્તા ની બંને બાજુ એકબીજાની સામ સામે બે ટાવર \(T_1\) અને \(T_2\) અનુક્રમે \(60\, m\) અને \(80\, m\) ઊંચાઇ ના છે. જો ટાવર \(T_1\) ની ટોચ પર થી ટાવર \(T_2\) ના તળિયા સાથેના અવસેધકોણ ટાવર \(T_2\) ના ટોચ સાથે બનાવેલ ઉત્સેધકોણ કરતાં બમળો હોય તો ટાવર \(T_1\) અને \(T_2\) વચ્ચે રહેલા રસ્તા ની પહોળાય (મીટર માં) મેળવો

જ્યાં સુધી છ ના આવે ત્યા સુધી એક સમતોલ પાસાને ઉછાળવામાં આવે છે . અહી \(X\) એ કેટલી વાર સિક્કા ને ઉછાળવામાં આવે છે તે દર્શાવે છે , તો શરતી સંભાવના  \(\mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 5 \mid \mathrm{X}>2)\) મેળવો.

ધારો કે  \(P Q R\) એક ત્રિકોણ છે, જ્યાં \(R(-1,4,2)\). છે. ધારો કે  \(M(2,1,2)\) એ  \(PQ\). નું મધ્યબિંદુ છે. રેખાઓ \(\frac{x-2}{0}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}\) અને \(\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-3}=\frac{z+1}{1}\) ના છેદ બિંદુથી \(\triangle \mathrm{PQR}\) ના મધ્યકેન્દ્રનું અંતર ........... છે.

ધારો કે, એક વિકલનીય વિધેય f સમીકરણ \( \int_{0}^{36}f(\frac{tx}{36})dt=4\alpha f(x) \) ને સંતોષે છે. જો \( y=f(x) \) એ એક પ્રમાણભૂત પરવલય હોય જે બિંદુઓ (2, 1) અને \( (-4,\beta) \) માંથી પસાર થાય છે, તો \( \beta^{\alpha} \) = ___ છે.

ધારો કે \((2,3)\) એ સૌથી મોટો વિવૃત અંતરાલ છે જેમાં વિધેય \(f(x)=2 \log _{\mathrm{e}}(x-2)-x^2+a x+1\) સખત રીતે વધે છે અને (b, c) એ સૌથી મોટો વિવૃત અંતરાલ છે, જેમાં વિધેય \(\mathrm{g}(x)=(x-1)^3(x+2-\mathrm{a})^2\) સખત રીતે ઘટે છે. તો \(100(a+b-c)\) = ___

\(\left(x \sin \alpha+a \frac{\cos \alpha}{x}\right)^{10}\) ના વિસ્તરણમાં જો અચળ પદ  \(\frac{10 !}{(5 !)^{2}}\) હોય તો \(' a^{\prime}\) ની  કિમંત મેળવો.

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.

\(\alpha \) ની કિમંત મેળવો કે જેથી  \(\int\limits_\alpha ^{\alpha  + 1} {\frac{{dx}}{{\left( {x + \alpha } \right)\left( {x + \alpha  + 1} \right)}} = {{\log }_e}\left( {\frac{9}{8}} \right)} \) થાય .

વિધેય \(\cos ^{-1}\left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{4 x^{2}-1}\right)}{\pi}\right)\) નો પ્રદેશ \(\dots\dots\)છે.

એક ત્રિકોણ \(\mathrm{ABC}\) ની બે બાજુઓ \(\mathrm{AB}\) અને \(\mathrm{AC}\) નાં સમીકરણો અનુક્રમે \(4 x+y=14\) અને \(3 x-2 y=5\) છે. બિંદુ \(\left(2,-\frac{4}{3}\right)\) એ ત્રીજીબાજુ \(BC\) નું \(2:1\) નાં ગુણોત્તર માં આંતરવિભાજન કરે છે. બાજુ \(BC\) નું સમીકરણ ............. છે.