જો શ્રેણી \(\dfrac{1}{1 + 1^4 \times 4} + \dfrac{2}{1 + 2^4 \times 4} + \dfrac{3}{1 + 3^4 \times 4} + \dfrac{4}{1 + 4^4 \times 4} + \ldots\) ના પ્રથમ \(10\) પદોનો સરવાળો \(\dfrac{m}{n}\) હોય અને \(\gcd(m, n) = 1\), તો \(m + n\) બરાબર છે:

જો \(\left(\dfrac{1}{x^3} - x^4\right)^n\) ના વિસ્તરણમાં, જ્યાં \(x \neq 0\), \(x^7\) અને \(x^{14}\) ના સહગુણાંકોનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો \(n\) નું મૂલ્ય __________ છે.

વિધેય \(\cos ^{-1}\left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(\frac{1}{4 x^{2}-1}\right)}{\pi}\right)\) નો પ્રદેશ \(\dots\dots\)છે.

અહી શ્રેઢી \(\left\{a_{n}\right\}_{n-1}^{\infty}\) એ દરેક \(n \geq 1\) માટે  \(a_{1}=1, a_{2}=1\) અને \(a_{n+2}=2 a_{n+1}+a_{n}\) આપેલ છે . તો \(47 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{3 n}}\) ની કિમંત મેળવો.

જો \(\left(x^{n}+\frac{2}{x^{5}}\right)^{7}\) ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ધન ધાતવાળા તમામ \(x\) ના સહગુણકોનો સરવાળો \(939\) હોય, તો \(n\) ની તમામ શક્ય પૂણાંક કિંમતોનો સરવાળો \(\dots\dots\dots\) છે.

ધારોકે \(\alpha\) એ સમીકરણ \((a-c) x^2+(b-a) x+(c-b)=0\) નું બીજ છે, જ્યા, \(a , b , c\) એવી ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે કે  જેથી શ્રેણિક \(\left[\begin{array}{ccc}\alpha^2 & \alpha & 1 \\1 & 1 & 1 \\a & b & c\end{array}\right]\) વ્યસ્તવિહીન બંને,તો \(\frac{(a-c)^2}{(b-a)(c-b)}+\frac{(b-a)^2}{(a-c)(c-b)}+\frac{(c-b)^2}{(a-c)(b-a)}..............\)

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .

ધારોકે \([\bullet]\) મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે, તથા \(f(x)=\min \left\{\sqrt{2} x, x^2\right\}\). ધારોકે \(S =\left\{x \in(-2,2):\right.\) વિધેય \(g (x)=|x|\left[x^2\right]\) એ \(x\) પર અસતત છે \(\}\). તો \(\sum_{x \in S} f(x)=\) ___ .

શ્રેઢી \({1^2} + 2 \cdot {2^2} + {3^2} + 2 \cdot {4^2} + {5^2} + .\;.\;.\;.\) ના પ્રથમ \(20\) પદોનો સરવાળો ધારો કે \(A\) છે અને પ્રથમ \(40\) પદોનો સરવાળો ધારો કે \(B\) છે. જો \(B - 2A = 100\lambda \) તો \(\lambda \) મેળવો.

અહી વક્ર \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y\) નો ઉકેલ દર્શાવે છે . જો તે \(y\)-અક્ષને \(y=-1\) આગળઅને  \(x\)-અક્ષને  બિંદુ \((\alpha, 0)\)  છેદે છે તો \(\mathrm{e}^{\alpha}\) ની કિમંત મેળવો.

\(X-\)અક્ષ,\(Y-\)અક્ષ અને રેખા \(3 x+4 y=60\) દ્વારા એક ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે. તો, જો \(a\) પૂર્ણાંક હોય અને \(b\) એ \(a\) નો ગુણિત હોય ત્યારે ત્રિકોણની અંદર જ આવે તેવા બિંદુઓ \(P ( a , b )\) ની સંખ્યા \(.............\) છે.

\(\left(3^{\frac{1}{2}}+5^{\frac{1}{4}}\right)^{680}\) ના વિસ્તરણમાં પૂર્ણાક પદોની સંખ્યા \(..........\) છે.

અહી \(\mathrm{g}: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{N}\) ને નીચે મુજબ આપેલ છે. \(g(3 n+1)=3 n+2\) \(g(3 n+2)=3 n+3\) \(g(3 n+3)=3 n+1,\)  દરેક  \(n \geq 0\) તો આપેલ પૈકી ક્યૂ વિધાન સત્ય છે.