જો સદીશ \(\vec b = 3\hat j + 4\hat k\) ને  \({\vec {b_1}}\) કે જે  \(\vec a = \hat i + \hat j\) ને સમાંતર છે અને સદીશ \({\vec {b_2}}\) કે જે  \(\vec a\) ને લંભ છે તેના સરવાળા સ્વરૂપ માં દર્શાવી શકાય છે તો  \({\vec {b_1}} \times {\vec {b_2}}\) મેળવો.

ધારોકે વર્ગ \(A\)ના \(100\) વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો  મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે \(40\) અને \(\alpha( > 0)\) છે તથા વર્ગ \(B\)ના \(n\) વિદ્યાર્થીઓના ગુણનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે \(55\) અને \(30-\alpha\) છે.જો \(100+n\)ના સંયુક્ત વર્ગના ગુણોનો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે \(50\) અને \(350\) હોય,તો વર્ગ \(A\) અને વર્ગ \(B\)ના વિચરણનો સરવાળો \(...........\) છે.

જો \(\int {\frac{{\tan \,\,x\,}}{{1 + \,\tan \,x\, + {{\tan }^2}\,x}}dx} \) \( = x - \frac{K}{{\sqrt A }}{\tan ^{ - 1}}\,\left( {\frac{{K\,\,\tan \,x + 1}}{{\sqrt A }}} \right) + C,\) (કે જ્યાં  \(C\) સંકલનનો અચળાંક  છે), તો  \((K, A)\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

જેમના દિક્ર્ કોસાઈન, સમીકરણો \(l+m-n=0\) અને \(l^{2}+m^{2}-n^{2}=0 .\) નું સમાધાન કરતા હોય તેવી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો \(\alpha\) જ હોય, તો \(\sin ^{4} \alpha+\cos ^{4} \alpha\) નું મૂલ્ય .......... છે.

જો બિંદુ \(\left( {2,\alpha ,\beta } \right)\) એ સમતલ પર આવેલ છે કે જે બિંદુઓ \((3, 4, 2)\) અને  \((7, 0, 6)\) માંથી પસાર થાય અને સમતલ \(2x - 5y = 15\) ને લંબ હોય તો \({2\alpha  - 3\beta }\) મેળવો.

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

જો સમગુણોત્તર શ્રેણીના ચાર ધન ક્રમિક પદોના સરવાળા તથા ગુણાકાર અનુક્રમે \(126\) અને \(1296\) હોય, તો આવી દરેક સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં સામાન્ય ગુણોત્તરોનો સરવાળો \(.............\) છે.

અહી \(A=\left\{a_{i}\right\}\) એ  \(3 \times 3\) કક્ષાવાળો શ્રેણિક છે કે જ્યાં  \(a_{i j}=\left\{\begin{aligned}(-1)^{j-i} & \text { if } i < j \\ 2 & \text { if } i=j \\(-1)^{i+j} & \text { if } i > j \end{aligned}\right.\)  તો \(\operatorname{det}\left(3 \operatorname{Adj}\left(2 \mathrm{~A}^{-1}\right)\right)\) ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે \(\mathrm{M}\) નીચેનાં આવુતી વિતરણ નો મધ્યસ્થ દર્શાવે છે. તો \(20\) \(M\) = ...........

વર્ગ	\(0-4\)	\(4-8\)	\(8-12\)	\(12-16\)	\(16-20\)
આવ્રુતિ	\(3\)	\(9\)	\(10\)	\(8\)	\(6\)

અહી \(R\) એ વાસ્તવિક સંખ્યા પરનો સંબંધ છે. કે જે \(R=\{(a, b): 3 a-3 b+\sqrt{7}\) એ અસંમેય સંખ્યા છે  \(\}\). તો  \(R\) એ  . . . . 

ધારો કે 4 ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ ઉગમબિંદુ O, બિંદુઓ A \( (-\sqrt{3}a,0) \) અને \( B(0,-\sqrt{2}b) \) માંથી પસાર થાય છે, જ્યાં a અને b વાસ્તવિક પ્રાચલો છે અને \( ab\ne0 \). તો \( \Delta OAB \) ના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ ___ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ છે.

વિઘેય \(f(x)=\frac{\cos ^{-1}\left(\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9}\right)}{\log _{e}\left(x^{2}-3 x+2\right)} \) નો પ્રદેશ ........ છે.

સમીકરણ સંહતિ
\(\begin{aligned}
& x+y+z=6 \\
& x+2 y+5 z=9, \\
& x+5 y+\lambda z=\mu,
\end{aligned}\) ને કોઈ ઉકેલ ન હોય તો