એક બાંધકામનું કામ બે કડિયા A અને B દ્વારા સાથે મળીને 22.5 દિવસમાં પૂર્ણ કરી શકાય છે. કડિયો A એકલો તે કામ કડિયા B કરતાં 24 દિવસ ઓછા સમયમાં પૂર્ણ કરી શકે છે. તો કડિયો A એકલો તે કામ કેટલા દિવસમાં પૂર્ણ કરશે?

ત્રણ બિંદુુઓ \(\mathrm{O}(0,0), \mathrm{P}\left(\mathrm{a}, \mathrm{a}^2\right), \mathrm{Q}\left(-\mathrm{b}, \mathrm{b}^2\right), \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0\), પરવલય \(y=x^2\) પર આવેલાં છે. ધારો કે રેખા \(\mathrm{PQ}\) અને આ પરવલય વડે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \(\mathrm{S}_1\) છે તથા ત્રિકોણ \(\mathrm{OPQ}\) નું ક્ષેત્રફળ \(\mathrm{S}_2\) છે. જો \(\frac{\mathrm{S}_1}{\mathrm{~S}_2}\) ની ન્યૂનતમ કિંમત \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\), ગુ.સા.અ. \((\mathrm{m}, \mathrm{n})=1\) હોય, તો  \(\mathrm{m}+\mathrm{n} =\) ...........

ધારો કે \(X=\mathbf{R} \times \mathbf{R}\) છે. \(X\) પર એક સંબંધ \(R\) ને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરો:
\(\left(a_1, b_1\right) R\left(a_2, b_2\right) \Leftrightarrow b_1=b_2\)

વિધાન I : \(\quad \mathrm{R}\) એ સામ્ય સંબંધ છે.
વિધાન II : \(X\) માંના કોઈ \((a, b)\) માટે, ગણ \(S=\{(x, y) \in X:(x, y) R(a, b)\}\) એ \(y=x\) ને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે.
ઉપરોક્ત વિધાનોના આધારે, નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

ધારોકે \(ABCD\) એ ચતુષ્કોણ છે.જો \(E\) અને \(F\) એ અનુક્રમે વિકર્ણો \(AC\) અને \(BD\)ના મધ્યબિંદુઓ હોય અને \((\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C})+(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{D C})=k \overrightarrow{F E}\) હોય, તો \(k=........\)

શિરોબિંદુઓ \(A(2,1), B(0,0)\) અને \(C(t, 4), t \in[0,4]\) વાળા ત્રિકોણો ધ્યાને લો. જો આવા ત્રિકોણોની મહત્તમ તથા ન્યૂનત્તમ પરિમિતિઓ અનુક્રમે \(t=\alpha\) અને \(t=\beta\) પાસે મળે,તો \(6 \alpha+21 \beta=.....\)

બિંદુ \(P\) એ રેખા \(2x -3y + 4 = 0\) પર આવેલ છે. જો \(Q(1, 4)\) અને \(R(3, -2)\) એ નિશ્ચિત બિંદુઓ હોય તો \(\Delta PQR\) નું મધ્યકેન્દ્ર આવેલ હોય તે રેખા માટે નીચેનામાંથી શું સાચું છે ? 

જો \(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&\alpha &3\\1&3&3\\2&4&4\end{array}} \right]\) એ \(3×3 \) શ્રેણિક \(A\)  નો સહઅવયવજ હોય અને \( |A|=4\)  તો \(\alpha \) મેળવો.

અહી સદીશ \(\vec{a}\) એ સદીશો \(\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) અને \(\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k} .\) ને સમતલીય છે. જો \(\vec{a}\) એ  \(\vec{d}=3 \vec{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}\), અને \(|\vec{a}|=\sqrt{10} .\)  હોય તો  \([\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \overrightarrow{\mathrm{c}}]+[\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}} \vec{d}]+[\overrightarrow{\mathrm{a}} \vec{c} \vec{d}]\) ની શક્ય કિમંત મેળવો.

એક કસોટીમાં વિદ્યાર્થીઓએ મેળવેલ ગુણના મધ્યક તથા વિચરણ અનુક્રમે \(10\) અને \(4\) છે. ત્યાર બાદ, એક વિદ્યાર્થીના ગુણ \(8\) થી વધારીને \(12\) કરવામાં આવે છે. જો ગુણનો નવો મધ્યક \(10.2\) હોય, તો તેમનું નવું વિચરણ \(...............\) થશે.

જો આપેલ રેખા \(5x + 8y = 13\) અને \(4x - y = 3\) એ વર્તુળ \(x^2 + y^2 - 2\,(a^2 - 7a + 11)\) અને \(x - 2\, ( a^2 - 6a + 6)\, y + b^3 + 1 = 0\) માટે વ્યાસનું સમીકરણ હોય તો 

\(30\)સેમી. બાજુ વાળા ટિનના એક ચોરસ ટુકડાના પ્રત્યેક ખૂણાને કાપી તથા કોર વાળીને મથાળા વગરની પેટી બનાવવામાં આવે છે. જો પેટીનું ધનફળ મહત્તમ હોય, તો તેનું પૃષ્ઠળ (સે.મી\(^2\). માં) \(.........\) થશે.

પરવલય \(x^2 = 4y\) ના જીવા ની લંબાઈ મેળવો જેનું સમીકરણ \(x - \sqrt 2y + 4\sqrt 2 = 0\) છે 

બે સદિશો \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) નો વિચાર કરો. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને સમાંતર છે અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને લંબ છે. તો \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) નું મૂલ્ય શું છે?