JEE Mains · Maths · STD 12 - 8. Application and integration
ધારો કે \(f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\) એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી બધા \(x, y \in \mathbf{R}\) માટે \(f(x+y)=f(x) f(y)\) થાય. જો \(f^{\prime}(0)=4 \mathrm{a}\) હોય અને \(f\) એ \(f^{\prime \prime}(x)-3 \mathrm{a} f^{\prime}(x)-f(x)=0\), \(\mathrm{a}\gt0\) ને સંતોષે, તો પ્રદેશ \(\mathrm{R}=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq f(\mathrm{a} x), 0 \leq x \leq 2\}\) નું ક્ષેત્રફળ શોધો:
- A \(e^2-1\)
- B \(e^2+1\)
- C \(e^4+1\)
- D \(e^4-1\)
Answer & Solution
Correct Answer
(A) \(e^2-1\)
Step-by-step Solution
Detailed explanation
\(\begin{aligned} & f(x+y)=f(x) \cdot f(y) \\ & \Rightarrow f(x)=e^{\lambda x} f^{\prime}(0)=4 a \\ & \Rightarrow f^{\prime}(x)=\lambda e^{\lambda x} \Rightarrow \lambda=4 a \end{aligned}\) So, \(f(x)=e^{4 x}\)…
See the Complete Solution
Get step-by-step explanations for this and 2.5 Lakh+ more JEE, NEET & CET questions.
- Unlock all solutions
- Practice the full chapter
- Track accuracy across PYQs
4.8 rated on Google Play · 14,000+ reviews
More questions from Maths
- જો રેખાઓ \(\dfrac{x+1}{3} = \dfrac{y+a}{5} = \dfrac{z+b+1}{7}\) અને \(\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-b}{4} = \dfrac{z-2a}{7}\) નું છેદનબિંદુ \(xy\)-સમતલ પર આવેલું હોય, તો \(a + b\) નું મૂલ્ય છે :JEE Mains 2026 Medium
- \(z=\alpha+i \beta\) માટે જો \(|z+2|=z+4(1+i)\) હોય, તો \(\alpha+\beta\) અને \(\alpha \beta\) એ \(.........\) સમીકરણ ના બીજ છે.JEE Mains 2023 Hard
- ધારોકે \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \((x \cos x) d y+(x y \sin x+y \cos x-1) d x=0,0 < x < \frac{\pi}{2}\) નો ઉકેલ છે.જો \(\frac{\pi}{3} y\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\) હોય, તો \(\left|\frac{\pi}{6} y^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)+2 y^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right|=.............\).JEE Mains 2023 Hard
- જો \(f\) એ વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી \(f'\left( x \right) = 7 - \frac{3}{4}\frac{{f\left( x \right)}}{x},\left( {x > 0} \right)\) અને \(f(1) \ne 4\) તો \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} xf\left( {\frac{1}{x}} \right)\,\,=\)JEE Mains 2019 Hard
- ધારો કે \(a,b,c\) અને \(d \) શૂન્યેતર સંખ્યાઓ છે. જો રેખાઓ \(4ax + 2ay + c = 0\) અને \(5bx + 2by + d = 0\) નું છેદબિંદુ ચર્તૂથ ચરણમાં અને બંને અક્ષોથી સમાન અંતરે આવેલું હોય તો . . . . . . .JEE Mains 2014 Hard
- જો \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\tan \,\,\theta }}{{\sqrt {2k\,\sec \,\theta } }}} \,d\theta \, = \,1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }},(k > 0),\) તો \(k\) ની કિમંત મેળવો.JEE Mains 2019 Hard
More PYQs from JEE Mains
- ધારો કે \(\vec a,\,\vec b,\) અને \(\vec c\) એ ત્રણ એકમ સદીશ છે કે જેમાંથી \(\vec b\) અને \(\vec c\) એ સમાંતર નથી . જો \(\alpha \) અને \(\beta \) એ અનુક્રમે સદિશે \(\vec a\) એ સદીશ \(\vec b\) અને \(\vec c\) સાથે બનાવેલ ખૂણા છે અને \(\vec a\,\, \times \,\,(\vec b\,\, \times \,\,\vec c)\,\, = \,\,\frac{1}{2}\,\,\vec b\) હોય તો \(\left| {\alpha - \beta } \right|\) ................. \(^o\) મેળવો.JEE Mains 2019 Hard
- ધારો કે \(A B C D\) એક ચતુષ્ફલક છે કે જેથી તેની ધાર \(\mathrm{AB}, \mathrm{AC}\) અને AD પરસ્પર લંબ છે. ત્રિકોણ \(\mathrm{ABC}, \mathrm{ACD}\) અને ADB ના ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે 5,6 અને 7 ચોરસ એકમ છે. તો \(\triangle \mathrm{BCD}\) નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) = __________JEE Mains 2025 Easy
- જો ચલિત રેખા \(3 x+4 y=\alpha\) એ બે વર્તુળો \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1\) અને \((x-9)^{2}+(y-1)^{2}=4\) ની વચ્ચે એવી રીતે આવેલ છે કે જેથી તે બંને વર્તુળની એકપણ જીવાને છેદતી નથી તો \(\alpha\) ની બધીજ પૃણાંક કિમંતોનો સરવાળો મેળવો.JEE Mains 2021 Hard
- અતિવલય \(\mathrm{H}: \frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1\) પરના બિંદુ \(\mathrm{P}(4,2 \sqrt{3})\) ના અભિકેન્દ્રીય અંતરોના ગુણાકાર 32 છે. H ના અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ \(p\) અને તેના નાભિલંબની લંબાઈ q હોય, તો \(\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2\) = __________JEE Mains 2025 Hard
- \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1+\sin ^{2} \mathrm{x}}{1+\pi^{\sin \mathrm{x}}}\right)\, \mathrm{dx}\) ની કિમંત મેળવો.JEE Mains 2021 Medium
- અહી \(a\) એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી \(\int_{0}^{a} e^{x-[x]} d x=10 e-9\) થાય કે જ્યાં \([x]\) એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે તો \(a\) ની કિમંત મેળવો.JEE Mains 2021 Hard