ધારો કે બિંદુ \(P(1, 6, a)\) નું રેખા \(L: \dfrac{x}{1} = \dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z-a+1}{b}\), \(b > 0\), માં પ્રતિબિંબ \(\left(\dfrac{a}{3}, 0, a+c\right)\) છે. જો \(S(\alpha, \beta, \gamma)\), \(\alpha > 0\), એ \(L\) પરનું બિંદુ હોય કે જેથી બિંદુ \(P\) માંથી \(L\) પરના લંબપાદથી \(S\) નું અંતર \(2\sqrt{14}\) હોય, તો \(\alpha + \beta + \gamma\) બરાબર છે:

પ્રદેશ \(\left\{(x, y): x^2+(y-2)^2 \leq 4\right.\), \(\left.x^2 \geq 2 y\right\}\) નું ક્ષેત્રફળ \(............\) છે.

જો \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (2 x)+a \cos (4 x)-b}{x^4}\) સાન્ત હોય, તો \((a+b)\) = __________

એક વિર્ધુત ઉપકરણ બે ભાગનું બનેલું છે. ઉપકરણને ચાલવામાં દરેક ભાગ સ્વતંત્ર રીતે કાર્યરત હોવું જ પડશે. અને પહેલો ભાગ કાર્યરત હોય તેની સંભાવના \(0.9\) અને બીજો ભાગ કાર્યરત હોય તેની સંભાવના \(0.8\) છે. જો ઉપકરણ શરૂ કરવામાં આવે છે અને તે બંધ થાય જાય છે તો પહેલો ભાગ કાર્યરત ન હોય અને બીજો ભાગ કાર્યરત હોય તેની સંભવન \(p \) છે તો \(98p \) ની કિમંત મેળવો.

જો \(\vec a = \hat i - \hat j,\) \(\vec b = \hat i + \hat j + \hat k\) અને \(\vec c\) એ સદીશો છે કે જેથી \(\vec a \times \vec c + \vec b = 0\) અને \(\vec a.\vec c = 4\) તો \({\left| {\vec c} \right|^2}\) મેળવો.

જો \(f\) એ \(x\) નું સંયોજિત વિધેય છે કે જે  \(f\left( u \right) = \frac{1}{{{u^2} + u - 2}}\,,\,u\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) ના સ્વરૂપે આપેલ છે . તો \(x\) ની કેટલી કિમંતો માટે \(f\) એ અસતત થાય.

ધારોકે સદિશો \(\vec{u}_1=\hat{i}+\hat{j}+a \hat{k}, \vec{u}_2=\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}\) અને \(\vec{u}_3=c \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) સમતલીય છે.જો સદિશો \(\vec{v}_1=(a+b) \hat{i}+c \hat{j}+c \hat{k}, \vec{v}_2=a \hat{i}+(b+c) \hat{j}+a \hat{k}\) અને \(\vec{v}_3=b \hat{i}+b \hat{j}+(c+a) \hat{k}\) પણ સમતલીય હોય, તો \(6( a + b + c )=.........\)

\(\theta \in [0, 2\pi]\) ના તમામ સંભવિત મૂલ્યોનો સરવાળો, જેના માટે સમીકરણ પ્રણાલી :
\(x\cos 3\theta - 8y - 12z = 0\)
\(x\cos 2\theta + 3y + 3z = 0\)
\(x + y + 3z = 0\)
અશૂન્ય ઉકેલ ધરાવે છે, તે બરાબર છે :

બે સદિશો \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) નો વિચાર કરો. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને સમાંતર છે અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને લંબ છે. તો \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) નું મૂલ્ય શું છે?

\(0 < \theta < \pi / 2\) માટે, જો અતિવલય \(\mathrm{x}^2-\mathrm{y}^2 \operatorname{cosec}^2 \theta=5\) ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય \(x^2 \operatorname{cosec}^2 \theta+y^2=5\) ની ઉત્કેન્દ્રતાથી \(\sqrt{7}\) ગણી હોય, તો \(\theta\) નું મૂલ્ય શોધો :

જો સંખ્યા \(-1, 0, 1, k\) નો પ્રમાણિત વિચલન \(\sqrt 5\) હોય તો \(k\) = ............... ( જ્યાં \(k > 0,\))

જો \(f\left( x \right) = \left[ x \right] - \left[ {\frac{x}{4}} \right],\,x \in R\) જ્યાં \([.]\)  એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે 

સમીકરણ \(\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2}+\cos \frac{5 \theta}{2}=2 \cos ^3 \frac{5 \theta}{2}\) ના \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) માં ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?