અહી \(a, b, c, d\) એ સમાંતર શ્રેણીના પદો છે કે જેનો સામાન્ય તફાવત \(\lambda\) છે. જો  \(\left|\begin{array}{lll} x+a-c & x+b & x+a \\ x-1 & x+c & x+b \\ x-b+d & x+d & x+c \end{array}\right|=2\) હોય તો  \(\lambda^{2}\) ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ \(\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{4}\) નાં વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા મેળવો.

સંખ્યાઓ \(8,21,34,47, \ldots, 320\) નું વિચરણ __________ છે.

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .

ધારો કે, વર્તુળની ત્રિજ્યા \(r\) છે, જે x-અક્ષને બિંદુ \((\mathrm{a}, 0), \mathrm{a} \lt 0\) પર સ્પર્શે છે અને પરવલય \(\mathrm{y}^2=9 \mathrm{x}\) ને બિંદુ \((4,6)\) પર સ્પર્શે છે. તો, \(r\) = __________

અહી બિંદુઓ \(P\) અને \(Q\) એ અનુક્રમે વક્રો \(( x-1)^{2}+(y+1)^{2}=1\) અને \(y=x^{2}\) પરના બિંદુઓ છે . જો બિંદુ  \(P\) ના \(x-\)યામની કોઈક કિમંત માટે  \(P\) અને \(Q\) વચ્ચેનું અંતર ન્યૂનતમ થાય છે તો \(x-\)યામ એ  \(. . . . . .\) અંતરાલ માં આવે.

જો \(\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k},\) હોય તો \(|\hat{ i } \times(\overrightarrow{ a } \times \hat{ i })|^{2}+|\hat{j} \times(\overrightarrow{ a } \times \hat{ j })|^{2}+|\hat{ k } \times(\overrightarrow{ a } \times \hat{ k })|^{2}\) ની કિમત શોધો 

અહી  \(X\) એ દ્રીપદી વિતરણનું  યાર્દચ્છિક ચલ છે કે જ્યાં મધ્યક \(4\) છે અને વિચરણ \(\frac{4}{3}\) છે. તો  \(54 P ( X \leq 2)\) ની કિમંત મેળવો.

જો કોઈક  \(p , q , r \in R\)  ( બધાના ચિન્હો સમાન નથી ),  સમીકરણ \(\left(p^{2}+q^{2}\right) x^{2}-2 q(p+r) x\) \(+q^{2}+r^{2}=0\) નું એક બીજએ સમીકરણ \(x^{2}+2 x-8=0\) નું પણ એક બીજ હોય તો  \(\frac{q^{2}+r^{2}}{p^{2}}\) ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ \(\left|\begin{array}{*{20}{c}}
{\cos \,\,x}&{\sin \,\,x}&{\sin \,\,x}\\
{\sin \,\,x}&{\cos \,\,x}&{\sin \,\,x}\\
{\sin \,\,x}&{\sin \,\,x}&{\cos \,\,x}
\end{array}\right|\,\, = \,\,0\) ના કેટલા ભિન્ન વાસ્તવિક બીજ એ \(\left[ { - \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}} \right]\) અંતરાલ માં હશે ?

અહી \(\left\{a_{n}\right\}_{n=0}^{\infty}\) એ શ્રેણી છે કે જેથી  \(a_{0}=a_{1}=0\) અને \(a_{ n +2}=3 a_{ n +1}-2 a_{ n }+1, \forall n \geq 0\) હોય તો  \(a_{25} a_{23}-2 a_{25} a_{22}-2 a_{23} a_{24}+4 a_{22} a_{24}\) ની કિમંત મેળવો.

ધારો કે f એ \(\mathbf{R}\) પર એક વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી \(\mathrm{f}(2) = 1\), \(f^{\prime}(2)=4\) છે. ધારો કે \(\lim _{x \rightarrow 0}(f(2+x))^{3 / x}=e^\alpha\). તો વક્ર \(y=4 x^3-4 x^2-4(\alpha-7) x-\alpha\) x-અક્ષને કેટલી વખત મળે છે તે શોધો :-

ધારોકે \(R\) પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક મૂલ્ય વિધેયો \(f, g\) અને \(h\) એ \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin (x+1)}{(x+1)}, & x \neq-1 \\ 1, & x=-1\end{array}\right.\right.\) અને \(h(x)=2[x]-f(x)\), જ્યાં \([x]\) એ મહતમ પૂર્ણાંક \(\leq x\) પ્રમાણે છે.તો \(\lim _{x \rightarrow 1} g(h(x-1))=...........\)