\(\left( {\frac{1}{{60}} - \frac{{{x^8}}}{{81}}} \right).{\left( {2{x^2} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^6}\) ના વિસ્તરણમાં એવું પદ મેળવો કે જે \(x\) પર આધારિત નથી.

જો \(P = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  1&0&0 \\ 
  3&1&0 \\ 
  9&3&1 
\end{array}} \right]\) અને \(Q = [q_{ij}]\) એ \(3\times3\) શ્રેણિક છે કે જેથી  \(Q -P^5 = I_3\). તો \(\frac{{{q_{21}} + {q_{31}}}}{{{q_{32}}}} =\)

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{[ r ]+[2 r ]+\ldots . .+[ nr ]}{ n ^{2}}\) ની કિમંત મેળવો કે જ્યાં \([r]\) એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે .

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

ધારોકે  \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}-y=2-e^{-x}\) નો ઉકેલ છે કે જેથી \(\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)\) એ અનંત નથી. જો \(x=0\) આગળ વક્રનો સ્પર્શકનો \(x-\)અંતખંડ અને \(y\)-અંતખંડ અનુક્રમે  \(a\) અને \(b\) હોય તો \(a-4 b\) ની કિમંત \(....\) થાય.

ધારોકે \(f(x)\) એવું વિધેય છે કે જેથી પ્રત્યેક \(x, y \in N\) માટે \(f(x+y)=f(x) \cdot f(y)\) જો \(f(1)=3\) અને \(\sum \limits_{k=1}^n f(k)=3279\) હોય, તો \(n\) નું મૂલ્ય \(..............\) છે.

\(n\) ની ન્યૂનતમ કિમત મેળવો કે જેથી \({\left( {{x^2}\, + \,\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\) ના વિસ્તરણમાં \(x\) નો સહગુણક \(^n{C_{23}}\) થાય ? 

ધારોકે \(f: R \rightarrow R\) એ \(f(x)=x-1\) મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે અને \(g: R -\{1,-1\} \rightarrow R\) એ \(g(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}\)મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે, તો વિધેય \(fog\dots\dots\)

\(2\) એકમ ત્રિજ્યાવાળુ એક વર્તુળ એ પરવલય \(y^{2}=2 x\) ના શિરોબિંદુ અને નાભિમાંથી પસાર થાય છે તથા પરવલય  \(y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\alpha\), જ્યાં \(\alpha>0\) ને સ્પર્શે છે.તો \((4 \alpha-8)^{2}=\dots\dots\dots\)

જો વક્ર \(y = y ( x )\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{ dy }{ dx }=2( x +1) \) નો ઉકેલ છે. જો વક્ર \(y = y ( x )\) અને  \(x-\) અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \(\frac{4 \sqrt{8}}{3}\) હોય તો \(y (1)\) ની કિમંત મેળવો.

એક થેલીમાં \(6\) દડાઓ છે. તેમાંથી બે દડાઓ યાદીચ્છક રીતે લેવામાં આવે છે અને તે બંને કાળા હોવાનું માલુમ પડે છે. થેલીમાં આોછામાં ઓછા \(5\) કાળા દડાઓ હોવાની સંભાવના \(.........\) છે.

\(\int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x \sin ^2 x}{\left(\cos ^3 x+\sin ^3 x\right)^2} d x\) = ...........

ધારોકે a, b, c સમાંતર શ્રેણીમાં છે તથા \(a^2, 2 b^2, c^2\) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. જો \(a < b < c\) અને \(a + b + c =1\), તો \(9\left(a^2+b^2+c^2\right)=\) ___ .