यदि समतल \(23 x-10 y-2 z+48=0\) तथा रेखाओं \(\frac{ x +1}{2}=\frac{ y -3}{4}=\frac{ z +1}{3}\) और \(\frac{ x +3}{2}=\frac{ y +2}{6}=\frac{ z -1}{\lambda}(\lambda \in R )\) को अंतर्विष्ट करने वाले समतल के बीच की दूरी \(\frac{ k }{\sqrt{633}}\) है, तो \(k\) बराबर है

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

माना अवकल समीकरण \(2 x ^{2} dy +\left( e ^{ y }-2 x \right) dx =0\), \(x >0\) का हल \(y ( x )\) है। यदि \(y ( e )=1\) है, तो \(y (1)\) बराबर है -

माना \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^4,(1-3 \beta x)^2\) तथा \(\left(1-\frac{\beta}{2} x \right)^6, \beta > 0\) के प्रसार में मध्य पदों के गुणांक क्रमश: एक \(A.P.\) के पहले तीन पद हैं। यदि इस \(A.P.\) का सार्व अंतर \(d\) है, तो \(50-\frac{2 d }{\beta^2}\) बराबर है

माना एक फलन \(f : R \rightarrow R\) प्रत्येक \(x , y \in R\) के लिए \(f ( x + y )= f ( x )+ f ( y )\) को संतुष्ट करता है। यदि \(f(1)=2\) तथा \(g(n)=\sum_{ k =1}^{( n -1)} f ( k ), n \in N\) है, तो \(n\) का वह मान जिसके लिए \(g ( n )=20\) हैं

यदि आंकड़ों \(6,10,7,13, a , 12, b , 12\) का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः \(9\) तथा \(\frac{37}{4}\) हैं, तो \((a-b)^{2}\) बराबर है

दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई, जिसकी नाभियाँ \((2,5)\) और \((2,-3)\) हैं और उत्केंद्रता \(\frac{4}{5}\) है, वह कितनी है?

विधियों की संख्या, जिसमें 16 संतरे चार बच्चों को इस प्रकार वितरित किए जा सकते हैं कि प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक संतरा मिले, वह ___ है।

यदि \(y= e ^{ n x}\) है, तो \(\left(\frac{ d ^{2} y}{ d x^{2}}\right)\left(\frac{ d ^{2} x}{ d ^{2} y^{2}}\right)\) बराबर है

मान लीजिए \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) तीन सदिश हैं इस प्रकार कि \( \vec{a}\times\vec{b}=2(\vec{a}\times\vec{c}) \)। यदि \( |\vec{a}|=1, {|\vec{b}|}=4, |\vec{c}|=2 \) और \( \vec{b} \) तथा \( \vec{c} \) के बीच का कोण \( 60^{\circ} \) है, तो \( |\vec{a} \cdot \vec{c}| \) का मान ___ है।

माना \(A , B\) तथा \(C\) तीन घटनाएँ हैं जिनके लिए \(A\) तथा \(B\) में से ठीक एक के होने की प्रायिकता \((1- k )\) है, \(B\) तथा \(C\) में से ठीक एक के होने की प्रायिकता \((1-2 k )\) है, \(C\) तथा \(A\) में से ठीक एक के होने की प्रायिकता \((1- k )\) है तथा \(A , B\) और \(C\) तीनों के एक साथ होने की प्रायिकता \(k ^{2}\) है, जबकि \(0 < k < 1\) है। तो \(A , B\) तथा \(C\) में से कम से कम एक के होने की प्रायिकता

एक अनभिनत पासे को तीन बार फेंक कर एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ निर्धारित की जाती है, तो त्रिभुज के अधिकतम क्षेत्रफल के होने की प्रायिकता, जब कि दिया है कि त्रिभुज समद्विबाहु है

यदि वृत्त \(x^2+y^2-2 x+y=5\) के बिंदुओं \(P\) तथा \(Q\) पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु \(\mathrm{R}\left(\frac{9}{4}, 2\right)\) पर मिलती हैं, तो त्रिभुज \(\mathrm{PQR}\) का क्षेत्रफल है