यदि \((1+ x )^{ p }(1- x )^{ q }, p , q \leq 15\), के प्रसार में \(x\) तथा \(x ^2\) के गुणांक क्रमशः \(-3\) तथा \(-5\) हैं, तो \(x ^3\) का गुणांक बराबर है \(..............\)

मान लीजिए \(P(\alpha,\beta,\gamma)\) रेखा \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=z\) पर एक बिंदु है जो बिंदु (1, -1, 0) से \(4\sqrt{14}\) की दूरी पर है और मूल बिंदु के निकटतम है। तब रेखाओं \(\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-\beta}{2}=\frac{z-\gamma}{3}\) और \(\frac{x+5}{2}=\frac{y-10}{1}=\frac{z-3}{1}\) के बीच की न्यूनतम दूरी ___ है।

माना \(f:\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) \rightarrow R\)  \(f(x)=(1+|\sin x|)^{\frac{3 a}{\sin x \mid}} ,\quad -\frac{\pi}{4}\,<\,x\,<\,0\) \(\quad\quad\quad\quad\quad\quad b ,\quad\quad\quad\quad\quad x=0\) \(\quad\quad\quad\quad e^{\cot 4 x / \cot 2 x} ,\quad\quad\quad 0\,<\,x\,<\,\frac{\pi}{4}\) द्वारा परिभाषित है। यदि \(x =0\) पर \(f\) संतत है, तो \(6 a + b ^{2}\) का मान बराबर है

सभी पाँच अक्षरों वाले शब्द, अक्षरों \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}\) का उपयोग करके बनाए जाते हैं और एक अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार क्रम संख्याओं के साथ व्यवस्थित किए जाते हैं। माना क्रम संख्या \(n\) पर स्थित शब्द को \(W_n\) से निरूपित किया जाता है। माना शब्द \(W_n\) को चुनने की प्रायिकता \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)\) संबंध \(\mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}}\right)=2 \mathrm{P}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{n}-1}\right), \mathrm{n} \gt 1\) को संतुष्ट करती है।
यदि \(\mathrm{P}(\mathrm{CDBEA})=\frac{2^\alpha}{2^\beta-1}, \alpha, \beta \in \mathbb{N}\), तो \(\alpha+\beta\) = __________

मान लीजिए कि \(f: R-\{0\} \rightarrow R\) एक फलन इस प्रकार है कि \(f(x)-6 f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{35}{3 x}-\frac{5}{2}\)।
यदि \(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\alpha x}+f(x)\right)=\beta ; \alpha, \beta \in R\) है, तो \(\alpha+2 \beta\) = __________

क्षेत्र \(\quad\left\{(x, y): x^2 \leq y \leq\left|x^2-4\right|, y \geq 1\right\} \quad\) का क्षेत्रफल है

माना \(A _{1}, A _{2}, A _{3}, \ldots \ldots .\) वर्ग हैं जबकि प्रत्येक \(n \geq 1\) के लिए, \(A_{n}\) की भुजा की लम्बाई, \(A_{n+1}\) के विकर्ण की लम्बाई के बराबर है। यदि \(A _{1}\) की भुजा की लम्बाई \(12 \,cm\) है, तो \(n\) का न्यूनतम मान, जिसके लिए \(A _{ n }\) का क्षेत्रफल एक से कम है, है ........ |

रेखाओं \(\vec{r}=\left(\dfrac{1}{3}\hat{i}+2\hat{j}+\dfrac{8}{3}\hat{k}\right)+\lambda(2\hat{i}-5\hat{j}+6\hat{k})\) और \(\vec{r}=\left(-\dfrac{2}{3}\hat{i}-\dfrac{1}{3}\hat{k}\right)+\mu(\hat{j}-\hat{k})\), \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\) के बीच की न्यूनतम दूरी है:

एक थैले में \(6\) सफेद तथा \(4\) काली गेंदें हैं। एक पासा एक बार फेंका जाता हैं तथा थैले में से पासे पर प्राप्त संख्या के बराबर गेंदें यादृच्छया निकाली जाती हैं। निकाली गई सभी गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता है :

माना \(m\) तथा \(M \left|\begin{array}{ccc}\cos ^{2} x & 1+\sin ^{2} x & \sin 2 x \\ 1+\cos ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin 2 x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x \end{array}\right|\) के, क्रमशः न्यूनतम तथा अधिकतम मान हैं, तो क्रमित युग्म \(( m , M )\) बराबर है 

यदि \(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{-2}{4 \mathrm{n}^2-16 \mathrm{n}+15}\) है, तो \(\mathrm{a}_1+\mathrm{a}_2+\ldots+\mathrm{a}_{25}\) बराबर है :

बिंदु \((2,3)\) के रेखा \((2 x-3 y+4)+k(x-2 y+3)=0, k \in R\) में प्रतिबिंब का बिंदुपथ एक

माना वक्र \(y=x|x-3|, x\)-अक्ष तथा कोटियों \(x=-1\) व \(\mathrm{x}=2\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(\mathrm{A}\) है। तब \(12 \mathrm{~A}\) का मान _______________ है।