वास्तविक संख्याओं \(\alpha\) तथा \(\beta \neq 0\) के लिए, यदि सरल रेखाओं \(\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\) तथ \(\frac{ x -4}{\beta}=\frac{ y -6}{3}=\frac{ z -7}{3}\), का प्रतिच्छेदन बिंदु, समतल \(x +2 y - z =8\) पर है, तो \(\alpha-\beta\) बराबर है 

माना \(f: R \rightarrow R , f(x)=\frac{|x|-1}{|x|+1}\) द्वारा परिभाषित है, तो \(f\)

परवलय \(y^{2}=6 x\) की नाभि से होकर जाती एक जीवा खींची गई है जिसकी परवलय के शीर्ष से दूरी \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) है, तो इसकी ढाल हो सकती है

तीन थैलों \(A\), \(B\) और \(C\) में क्रमशः \(7\) लाल, \(5\) काले; \(5\) लाल, \(7\) काले और \(6\) लाल, \(6\) काले गेंदें रखी गई हैं। एक थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और एक गेंद निकाली जाती है। यदि गेंद काली हो, तो इसके थैले \(\mathrm{A}\) से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

माना वक्र \(9 x^2+16 y^2=144\) की एक स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को बिन्दुओं \(\mathrm{A}\) तथा \(\mathrm{B}\) पर मिलती है। तो रेखाखंड \(\mathrm{AB}\) की न्यूनतम लंबाई_______________. 

यदि \(z\) तथा \(\omega\) दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं, जिनके लिए \(|z \omega|=1\) तथा \(\arg ( z )-\arg (\omega)=\frac{3 \pi}{2}\) है, तो \(\arg\) \(\left(\frac{1-2 \bar{z} \omega}{1+3 \bar{z} \omega}\right)\) बराबर है : (जहाँ \(\arg ( z )\) सम्मिश्र संख्या \(z\) के मुख्य कोणांक को दर्शाता है)

समुच्चय {a, b, c, d} पर परिभाषित ऐसे संबंधों की संख्या, जो स्वतुल्य और सममित दोनों हैं, वह ........... है।

\(\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
1
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
1
\end{array}} \right)} \right) + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
2
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
2
\end{array}} \right)} \right)\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
3
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
3
\end{array}} \right)} \right) + \;.\;.\;.\)\( + \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{21}\\
{10}
\end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}\\
{10}
\end{array}} \right)} \right)\) का मान है:

एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाई का योग \(x\) है और इन्हीं दो भुजाओं की लम्बाई का गुणनफल \(y\) है। यदि \(x ^{2}- c ^{2}= y\), जहाँ \(c\) त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई है, तब त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या है

यदि \(z\) एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है जिसका मापांक \(1\) है तथा कोणांक \(\theta\), तब कोणांक \(\left(\frac{1+z}{1+\bar{z}}\right)\) बराबर है

माना एक समांतर श्रेढ़ी के प्रथम \(2 n\) पदों का योगफल \(S _{1}\) है। माना उसी समांतर श्रेढ़ी के प्रथम \(4 n\) पदों का योगफल \(S_{2}\) है। यदि \(\left(S_{2}-S_{1}\right)=1000\) है, तो इस समांतर श्रेढ़ी के प्रथम \(6 n\) पदों का योग बराबर है

\(f ( x )= a ^{ a ^{ x }}+ a ^{1- a ^{ x }}\), जहाँ \(a , x \in R\) तथा \(a >0\), हैं, का न्यूनतम मान बराबर है

यदि \(\mathrm{A}(1,-1,2), \mathrm{B}(5,7,-6), \mathrm{C}(3,4,-10)\) और \(\mathrm{D}(-1,-4,-2)\) एक चतुर्भुज \(\mathrm{ABCD}\) के शीर्ष हैं, तो इसका क्षेत्रफल ........... है।