मांना \(\alpha=\frac{(4!)!}{(4!)^{3!}}\) तथा \(\beta=\frac{(5!)!}{(5!)^{4!}}\) है। तो :

समुच्चय \(\left\{n \in \mathbb{Z}:\left|n^2-10 n+19\right|<6\right\}\) में अवयवों की संख्या है____________.

समुच्चय \(\{1,2,3\}\) पर अरिक्त तुल्यता संबंधों की संख्या ___ है।

यदि \(\theta \in[-2 \pi, 2 \pi]\) है, तो समीकरण \(2 \sqrt{2} \cos ^2 \theta+(2-\sqrt{6}) \cos \theta-\sqrt{3}=0\) के हलों की संख्या = ___

समीकरण \(5+\left|2^{x}-1\right|=2^{x}\left(2^{x}-2\right)\) के वास्तविक मूलों की संख्या है

मान लीजिए कि समीकरण निकाय
\(\begin{aligned}
& x+5 y-z=1 \\
& 4 x+3 y-3 z=7 \\
& 24 x+y+\lambda z=\mu
\end{aligned}\)
\(\lambda, \mu \in \mathrm{R}\), के अनंत हल हैं। तो इस निकाय के हलों की संख्या, यदि \(x, y, z\) पूर्णांक हैं और \(7 \leq x+y+z \leq 77\) को संतुष्ट करते हैं, तो वह ___ है।

यदि \(a +\alpha=1, b +\beta=2\) तथा \(af ( x )+\alpha f \left(\frac{1}{ x }\right)\) \(=b x +\frac{\beta}{ x }, x \neq 0\) हैं, तो \(\frac{ f ( x )+ f \left(\frac{1}{ x }\right)}{ x +\frac{1}{ x }}\) बराबर है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

माना एक फलन \(f: R \rightarrow R\),\(f(x)=a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right)+[2-x], \quad a \in R , \quad\) द्वारा परिभाषित है, जहाँ [ \(t ]\) महतम पूर्णाक \(t\) है। यदि \(\lim _{x \rightarrow-1} f(x)\) का अस्तित्व है, तो \(\int \limits_0^4 f(x) d x\) का मान बराबर है :

यदि \(y ^{14}+ y ^{-14}=2 x\), तथा \(\left( x ^{2}-1\right) \frac{ d ^{2} y }{ dx ^{2}}+\alpha x \frac{ dy }{ dx }+\beta y =0\) है, तो \(|\alpha-\beta|\) बराबर है ......... |

माना समुच्चय \(\mathrm{C}=\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \mid \mathrm{x}^2-2^{\mathrm{y}}=2023, \mathrm{x}, \mathrm{y} \in \mathbb{N}\right\}\) है। तो \(\sum_{(x, y) \in C}(x+y)\) = ...........

यदि फलन \(f(x)=2 x^3-9 \mathrm{ax}^2+12 \mathrm{a}^2 \mathrm{x}+1\), जहाँ \(\mathrm{a} \gt 0\), अपने स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम मान क्रमशः \(p\) और \(q\) पर प्राप्त करता है, इस प्रकार कि \(\mathrm{p}^2=\mathrm{q}\), तो \(f(3)\) = ___

माना दो न्याय पासें फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का योग \(\mathrm{N}\) है तथा माना कि \(\mathrm{N}-2, \sqrt{3 \mathrm{~N}}, \mathrm{~N}+2\) के गुणोत्तर श्रेढ़ी में होने की प्राय़िकता \(\frac{\mathrm{k}}{48}\) है। तो \(\mathrm{k}\) बराबर है -