माना \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{k}=1}^{10} \mathrm{kx}{ }^{\mathrm{k}}, \mathrm{x} \in \mathrm{R}\) है। यदि \(2 f(2)+\mathrm{f}^{\prime}(2)\) \(=119(2)^{\mathrm{n}}+1\) है, तो \(\mathrm{n}\) बराबर है___________.

यदि \(I _{1}=\int \limits_{0}^{1}\left(1- x ^{50}\right)^{100} dx\) तथा \(I _{2}=\int \limits_{0}^{1}\left(1- x ^{50}\right)^{101} dx\) है जिन के लिए \(I _{2}=\alpha I _{1}\) है, तो \(\alpha\) बराबर है

माना \((\alpha, \beta, \gamma)\) रेखा \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{5}\) पर बिंदु \((8,5,7)\) है। तो \(\alpha+\beta+\gamma\) = ...........

दो ऊर्ध्वाधर पोल, \(150 \,m\) की दूरी पर है तथा उन में से एक की ऊँचाई दूसरे की ऊँचाई से तीन गुना है। यदि एक दर्शक, जो पोलों के पादों को मिलाने वाली रेखा के मध्यबिन्दु पर है, पोलों के शीर्षों के उन्नयन कोण पूरक पाता है, तो छोटे पोल की ऊँचाई (मीटरों में) है

माना \(S=\{1,2, \ldots \ldots, 20\}\) है। \(S\) के एक उपसमुच्चय \(B\) को "nice" कहा जाता है यदि इसके अवयवों का योग \(203\) है। तो, \(S\) के एक यादृच्छया चुने गए उपसमुच्चय के "nice" होने की प्रायिकता है

यदि \((10)^{9}+2(11)^{1}(10)^{8}+3(11)^{2}(10)^{7}+\ldots . . +10(11)^{9}=k(10)^{9}\) है, तो \(k\) बराबर है :

माना वक्र \(9 x^2+16 y^2=144\) की एक स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को बिन्दुओं \(\mathrm{A}\) तथा \(\mathrm{B}\) पर मिलती है। तो रेखाखंड \(\mathrm{AB}\) की न्यूनतम लंबाई_______________. 

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

यदि \([ t ]\) महत्तम पूर्णांक \(\leq t\) है, तो \(\int_{1}^{2}|2 x -[3 x ]| dx\) का मान बराबर है -

यदि \(X\) का ऐसा द्विपद बंटन, \(B(n, p)\) है, जहाँ \(n , p\) इसके प्राचल हैं, और \(P (X=2)= P (X=3)\) है, तो चर \(X\) का माध्य \(E (X)\) है

माना एक त्रिभुज, रेखाओं \(L _1: 2 x +5 y =10\); \(L _2:-4 x +3 y =12\) द्वारा परिबद्ध है तथा रेखा \(L _3\) जो बिन्दु \(P (2,3)\) से गुजरती है रेखा \(L _2\) को \(A\) पर तथा रेखा \(L _1\) को \(B\) पर काटती है। यदि बिन्दु \(P\), रेखाखण्ड \(AB\) को आंतरिक रूप से \(1: 3\) के अनुपात में विभाजित करता है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल के बराबर है

एक थैले में 19 अभिनत सिक्के और एक सिक्का जिसके दोनों ओर चित हैं। यादृच्छिक रूप से एक सिक्का निकाला जाता है और उछाला जाता है, जिस पर चित आता है। यदि निकाले गए सिक्के के अभिनत होने की प्रायिकता \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\) है, जहाँ \(\operatorname{gcd}(\mathrm{m}, \mathrm{n})=1\) है, तो \(\mathrm{n}^2-\mathrm{m}^2\) = ___

\(\int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{\left(1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right)} d x\) बराबर है