माना \(66\) योगफल के दो धनात्मक पूर्णाकों का अधिकतम गुणनफल \(M\) है। माना, प्रतिदर्श समष्टि \(S=\left\{x \in Z: x(66-x) \geq \frac{5}{9} M\right\}\) तथा घटना \(\mathrm{A}=\{\mathrm{x} \in \mathrm{S}: \mathrm{x}, 3\) का एक गुणज है \(\}\) तो \(\mathrm{P}(\mathrm{A})\) बराबर है

समाकल \(\int \cos \left(\log _{ e } x \right) dx\) बराबर है : (जहाँ \(C\) एक समाकलन अचर है)

यदि \((10)^{9}+2(11)^{1}(10)^{8}+3(11)^{2}(10)^{7}+\ldots . . +10(11)^{9}=k(10)^{9}\) है, तो \(k\) बराबर है :

माना सम्मिश्र संख्याएँ \(z = a + ib , b \neq 0\), समीकरण \(z ^2=\overline{ z } \cdot 2^{1-| z |}\) को संतुष्ट करती हैं। तब \(n \in N\) का निम्नतम मान, जिसके लिए \(z ^{ n }=( z +1)^{ n }\) है, बराबर है \(........\)

यदि \(A =\left\{1, a _1, a _2 \ldots \ldots a _{18}, 77\right\}\) पूर्णांको का एक समुच्चय है जिसमें \(1 < a _1 < a _2 < \ldots . . < a _{18} < 77\) है। माना समुच्चय \(A + A =\{ x + y : x , y \in A \}\) में ठीक \(39\) अवयव है। तब \(a_1+a_2+\ldots . .+a_{18}\) का मान होगा

किसी भी सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_1 \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{a}_2 \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{a}_3 \hat{\mathrm{k}}\), \(10\left|\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right|<1, \mathrm{i}=1,2,3\), के लिए निम्न कथनों का विचार कीजिए : \((A)\) : \(\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|\right\} \leq|\vec{a}|\) \((B)\) : : \(|\vec{a}| \leq 3 \max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|\right\}\) तो

समाकल \(\int \limits_{1}^{2} e ^{ x } \cdot x ^{ x }\left(2+\log _{ e } x \right) dx\) बराबर है

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

माना \(A =\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]\) तथा \(B = A ^{20}\) है, तो \(B\) के प्रथम स्तंभ के अवयवों का योगफल है

माना \(P_{1}:y=4x^{2}\) और \(P_{2}:y=x^{2}+27\) दो परवलय हैं। यदि \(P_{1}\) और \(P_{2}\) के मध्य परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल, रेखा \(y=\alpha x, \alpha>0\) और \(P_{1}\) से घिरे परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल का छह गुना है, तो \(\alpha\) = ___ है।

मान लीजिए \(O\) मूल-बिंदु है, \(\vec{OP} = \vec{a}\) और \(\vec{OQ} = \vec{b}\)। यदि \(R\) एक ऐसा बिंदु है जो \(\vec{OP}\) पर स्थित है और \(\vec{OP} = 5\vec{OR}\) है, तथा \(M\) एक ऐसा बिंदु है कि \(\vec{OQ} = 5\vec{RM}\) है, तो \(\vec{PM}\) बराबर है :

माना \(k\) एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। यदि \(f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\left( e ^{x}-1\right)^{2}}{\sin \left(\frac{x}{k}\right) \log \left(1+\frac{x}{4}\right)^{\prime}}, & x \neq 0 \\ 12 & , x=0\end{array}\right.\) एक संतत फलन है, तो \(k\) का मान है

माना एक शांकव \(\mathrm{C}\) बिंदु \((4,-2)\) से गुजरता है और \(\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}), \mathrm{x} \geq 3\), \(\mathrm{C}\) पर कोई बिंदु है। माना शांकव \(\mathrm{C}\) को केवल एक बिंदु \(\mathrm{P}\) पर स्पर्श करने वाली रेखा की ढाल, बिंदुओं \(P\) और \((3,-5)\) को मिलाने वाली रेखा की ढाल की आधी है। यदि \(\mathrm{C}\) पर बिंदु \((7,1)\) की नाभीय दूरी \(d\) है, तो \(12 \mathrm{~d}\) = ...........