मान लीजिए \(\mathrm{A}=\)\(\left\{\theta \in[0,2 \pi]: 1+10 \operatorname{Re}\left(\frac{2 \cos \theta+i \sin \theta}{\cos \theta-3 i \sin \theta}\right)=0\right\} .\)
तब \(\sum_{\theta \in A} \theta^2\) = __________

सरल रेखा \(3 x +5 y =15\) पर स्थित एक बिन्दु, जो निर्देशांक अक्षों में समदूरस्थ है, केवल स्थित है -

रेखिक समीकरण निकाय \(x+y+z=4 \mu\), \(x+2 y+2 \lambda z=10 \mu, x+3 y+4 \lambda^2 z=\mu^2+15\) जहाँ \(\lambda, \mu \in \mathrm{R}\) हैं का विचार कीजिए। निम्न कथनों में से कौन सा सही नहीं है ?

\(\alpha\) के लिए वह मान, जिनके लिए \(\left|\begin{array}{ccc}1 & \frac{3}{2} & \alpha+\frac{3}{2} \\ 1 & \frac{1}{3} & \alpha+\frac{1}{3} \\ 2 \alpha+3 & 3 \alpha+1 & 0\end{array}\right|=0\) है, किस अंतराल में है ?

माना \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int_0^{\mathrm{x}} \mathrm{g}(\mathrm{t}) \log _{\mathrm{e}}\left(\frac{1-\mathrm{t}}{1+\mathrm{t}}\right) \mathrm{dt}\) है जहाँ \(\mathrm{g}\) एक संतत विषम फलन है। यदि \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(f(x)+\frac{x^2 \cos x}{1+e^x}\right) d x=\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^2-\alpha\) है, तो \(\alpha\) = ...........

अवकल समीकरण \( (x^{2}-4)y^{\prime}-2xy+2x(4-x^{2})^{2}=0, x>2 \) का हल वक्र \( y=f(x) \) यदि बिंदु (3, 15) से गुजरता है, तो f का स्थानीय अधिकतम मान ___ है।

माना अवकल समीकरण  \(\quad \frac{d y}{d x}-\frac{3 x^5 \tan ^{-1}\left(x^3\right)} {\left(1+x^6\right)^{\frac{3}{2}}} y=2 x\) \(\exp \frac{x^3-\tan ^{-1} x^3}{\sqrt{(1+x)^6}}\) का हल \(y=y(x)\) है, जो मूल बिन्दु से होकर जाता है, तो \(\mathrm{y}(1)\) बराबर है :

समुच्चय में अवयवों की संख्या \(\left\{x \in\left[0,180^{\circ}\right]: \tan \left(x+100^{\circ}\right)=\tan \left(x+50^{\circ}\right) \tan x \tan \left(x-50^{\circ}\right)\right\}\) = ___ है।

यदि \(\Delta_{ r }=\left|\begin{array}{ccc} r & 2 r -1 & 3 r -2 \\ \frac{ n }{2} & n -1 & a \\ \frac{1}{2} n ( n -1) & ( n -1)^{2} & \frac{1}{2}( n -1)(3 n +4)\end{array}\right|\) हैं, तो \(\sum_{ r =1}^{ n -1} \Delta_{ r }\) का मान

दो अशून्य सम्मिश्र संख्या \(\mathrm{z}_1\) तथा \(\mathrm{z}_2\) के लिये यदि \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1 \mathrm{z}_2\right)=0\) तथा \(\operatorname{Re}\left(\mathrm{z}_1+\mathrm{z}_2\right)=0\) हो, तो निम्न में से कौनसा संभव है ? (\(A\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(B\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)>0\) (\(C\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)>0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) (\(D\)) \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_1\right)<0\) and \(\operatorname{Im}\left(\mathrm{z}_2\right)<0\) नीचे दिये गये विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए :

कुछ दंपत्तियों को मिश्रित युगल बैडमिंटन प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि खेले गए मैचों, जबकि किसी भी दंपत्ति ने एक ही मैच में भाग नहीं लिया हो, की संख्या \(840\) हैं, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले व्यक्तियों की कुल संख्या है______________.

एक हेलीकॉप्टर समीकरण \(y - x ^{3 / 2}=7,( x \geq 0)\) द्वारा प्रदिर्शत वक्र के अनुदिश उड़ान भरता है। एक सैनिक जो बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, 7\right)\) पर स्थित है हेलीकॉप्टर को तब गिराना चाहता है जब वह उसके निकटतम हो तब यह न्यूनतम दूर होगी

यदि अवकल समीकरण \(\left(\mathrm{x}^4+2 \mathrm{x}^3+3 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x}+2\right) \mathrm{dy}-\left(2 \mathrm{x}^2+2 \mathrm{x}+3\right) \mathrm{dx}=0\) का हल \(y=y(x)\), \(y(-1)=-\frac{\pi}{4}\) को संतुष्ट करता है, तो \(y(0)\) = ...........