एक वर्ग \(ABCD\) के सभी शीर्ष वक्र \(x ^{2} y ^{2}=1\) पर हैं। इसकी भुजाओं के मध्यबिंदु भी इसी वक्र पर हैं तो \(ABCD\) के क्षेत्रफल का वर्ग है ............ |

माना रेखा \(\mathrm{L}: \sqrt{2} \mathrm{x}+\mathrm{y}=\alpha\), वृत्त \(\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=3\) तथा परवलय \(x^2=2 y\) के प्रतिच्छेदन बिन्दु \(\mathrm{P}\) (प्रथम चतुर्थांश में) से होकर जाती है। माना रेखा \(\mathrm{L}\) बराबर त्रिज्या \(2 \sqrt{3}\) के दो वृत्तों \(\mathrm{C}_1\) तथा \(\mathrm{C}_2\) को स्पर्श करती है। यदि वृत्तों \(\mathrm{C}_1\) तथा \(\mathrm{C}_2\) के केन्द्र \(\mathrm{Q}_1\) तथा \(\mathrm{Q}_2, \mathrm{y}\)-अक्ष पर हैं तो त्रिभुज \(\mathrm{PQ}_1 \mathrm{Q}_2\) के क्षेत्रफल का वर्ग ........... है।

समाकल \(\int \limits_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\ln (1+2 x)}{1+4 x^{2}} d x\), बराबर है

माना \(P(3\cos\alpha, 2\sin\alpha)\), जहाँ \(\alpha \neq 0\), दीर्घवृत्त \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) पर एक बिंदु है, \(Q\) वृत्त \(x^2+y^2-14x-14y+82=0\) पर एक बिंदु है और \(R\) रेखा \(x+y=5\) पर एक बिंदु है इस प्रकार कि त्रिभुज \(PQR\) का केंद्रक \(\left(2+\cos\alpha, 3+\dfrac{2}{3}\sin\alpha\right)\) है। तो, \(R\) के सभी संभावित बिंदुओं की कोटियों का योग है:

फलन \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\cos \mathrm{x})-\mathrm{x}+1, \mathrm{x} \in \mathbb{R}\) के लिए, निम्नलिखित दो कथनों के बीच (\(S1\)) \([0, \pi]\) में \(f(x)=0\) का केवल एक मान है। (\(S2\)) \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) अंतराल \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) में ह्रासमान है और \(\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]\) में वर्धमान है।

वक्रों \(y=x^{2}, y=\frac{1}{x}\) तथा रेखाओं \(y=0\) तथा \(x= t ( t >1)\) के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल \(1\) वर्ग इकाई है, तो \(t\) बराबर है 

यदि रेखाओं \(\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{1}\) और \(\frac{x+2}{-3}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-4}{4}\) के बीच की न्यूनतम दूरी \(\frac{44}{\sqrt{30}}\), है तो \(|\lambda|\) का अधिकतम संभावित मान .......... है।

बिन्दु \((0,1)\) से होकर जाने वाले तथा परवलय \(y = x ^{2}\) को बिन्दु \((2,4)\) पर स्पर्श करने वाले वृत का केन्द्र है

माना \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) तीन शून्येतर ऐसे सदिश हैं कि उनमें से कांई दो संरेख नहीं हैं तथा \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=\frac{1}{3}|\vec{b} \| \vec{c}| \vec{a}\) है। यदि सदिशों \(\vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) के बीच का कोण \(\theta\) है, तो \(\sin \theta\) का एक मान है

यदि दो सदिशों \(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) तथा \(-\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) के योग पर सदिश \(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) का प्रक्षेप 1 है, तो \(\lambda\) बराबर है ...............

परवलय \((y-2)^2=x-1\), रेखा \(x-2 y+4=0\) तथा धनात्मक निर्देशांक अक्षों से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ........... है।

माना \(x\) में एक बहुपद \(f ( x )\) की घात \(6\) है, तथा पद \(x ^{6}\) का गुणांक एक है और \(x =-1\) तथा \(x =1\) इसके चरम बिन्दु हैं। यदि \(\lim _{ x \rightarrow 0} \frac{ f ( x )}{ x ^{3}}=1\), है, तो \(5 \cdot f (2)\) बराबर है

माना तीन अशून्य सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=0\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}})=\frac{\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{c}}}{2}\) है। यदि सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{d}}\) इस प्रकार है कि \(\overrightarrow{\mathrm{b}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{d}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}\) हो, तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot(\vec{c} \times \vec{d})\) बराबर है