एक त्रिभुज \(ABC\), जो कि शीर्ष \(A\) पर समकोण है, में \(A, B\) तथा \(C\) के स्थिति सदिश क्रमश: \(3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k},-\hat{i}+3 \hat{j}+p \hat{k}\) तथा \(5 \hat{i}+q \hat{j}-4 \hat{k}\) हैं, तो बिंदु \((p, q)\) जिस रेखा पर स्थित है, वह

माना \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) इस प्रकार है कि सभी \(x, y \in \mathbb{R}\) के लिए \(f(xy) = f(x)f(y)\) और \(f(0) \neq 0\)। माना \(g: [1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) एक अवकलनीय फलन इस प्रकार है कि
\(x^2 g(x) = \int\limits_1^x (t^2 f(t) - tg(t))\,dt\)।
तब \(g(2)\) का मान बराबर है:

माना \(\mathrm{C}\) सबसे बड़ा वृत्त है, जिसका केन्द्र \((2,0)\) पर है तथा जो दीर्घवृत \(\frac{\mathrm{x}^2}{36}+\frac{\mathrm{y}^2}{16}=1\) के अंतर्गत है। यदि बिन्दु \((1, \alpha)\) वृत्त \(C\) पर है, तो \(10 \alpha^2\) बराबर है_______________. 

माना समतल \(- x + y + z =1\) पर स्थित बिन्दु \(P (1,2-1)\) तथा \(Q (2,-1,3)\) के लम्ब के पाद के मध्य दूरी \(d\) है। तब \(d ^2\) का मान है \(.......\)

\(\lambda\) तथा \(\mu\) के वे मान जिनके लिए समीकरण निकाय \(x+y+z=6,3 x+5 y+5 z=26, x+2 y+\lambda z=\mu\) का कोई हल नहीं हैं,

माना \(S, k\) के ऐसे सभी वास्तविक मानों का समुच्चय है जिनके लिए निम्न रैखिक समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल है। \(x+y+z=2\) \(2 x+y-z=3\) \(3 x+2 y+k z=4\) तो, \(S\) है

यदि \(\int \limits_0^{\sqrt{3}} \frac{15 x^3}{\sqrt{1+x^2+\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}} d x=\alpha \sqrt{2}+\beta \sqrt{3}\) है, जहाँ \(\alpha, \beta\) पूर्णाक है, तो \(\alpha+\beta\) बराबर है \(............\)

यदि बिन्दु \(P\) का समतल \(3 x - y +4 z =2\) में प्रतिबिम्ब \(Q (0,-1,-3)\) है तथा \(R (3,-1,-2)\) एक अन्य बिन्दु है, तो \(\triangle PQR\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

\(1+ i \alpha, \alpha \in R\) की प्रकार की सभी सम्मिश्र संख्याओं \(z\) के लिये, यदि \(z^{2}=x+i y\) है, तो

यदि \(26\left(\dfrac{2^3}{3}\binom{12}{2} + \dfrac{2^5}{5}\binom{12}{4} + \dfrac{2^7}{7}\binom{12}{6} + \ldots + \dfrac{2^{13}}{13}\binom{12}{12}\right) = 3^{13} - \alpha\) है, तो \(\alpha\) के बराबर है:

माना \(a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{10}\) गुणोत्तर श्रेणी में है जिसमें \(i =1,2, \ldots, 10\) के लिये \(a _{ i }>0\) है तथा युग्मों \(( r , k ), r , k \in N\) (प्राकृत संख्याओं का समुच्चय) का समुच्चय \(S\) है जिसके लिये \(\left|\begin{array}{lll}\log _{ e } a_{1}^{ r } a _{2}^{ k } & \log _{ e } a _{2}^{ r } a _{3}^{ k } & \log _{ e } a _{3}^{ r } a _{4}^{ k } \\ \log _{ e } a _{4}^{ r } a _{5}^{ k } & \log _{ e } a _{5}^{ r } a _{6}^{ k } & \log _{ e } a _{6}^{ r } a _{7}^{ k } \\ \log _{ e } a _{7}^{ r } a _{8}^{ k } & \log _{ e } a _{8}^{ r } a _{9}^{ k } & \log _{ e } a _{9}^{ r } a _{10}^{ k }\end{array}\right|=0\) है। तब \(S\) में अवयवों की संख्या होगी 

मान लीजिए कि समीकरणों के निकाय :
\(\begin{aligned}
& 2 x+3 y+5 z=9 \\
& 7 x+3 y-2 z=8 \\
& 12 x+3 y-(4+\lambda) z=16-\mu
\end{aligned}\)
के अनंत हल हैं। तब \((\lambda, \mu)\) पर केंद्रित तथा रेखा \(4 x=3 y\) को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या क्या है?

यदि \(16x^2 - 9y^2 = 144\) और \(8x - 3y = 24\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A है, तो \(3(A + 6 \log_e(3))\) _______ के बराबर है।