2 इकाई त्रिज्या का वृत्त परवलय \(y ^2=2 x\) के शीर्ष तथा नाभि से गुजरता है तथा परवलय \(y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\alpha\), जहां \(\alpha > 0\) है, को स्पर्श करता है। तब \((4 \alpha-8)^2\) बराबर होगा।

माना परवलय \(\mathrm{y}^2=20 \mathrm{x}\) की नाभि \(\mathrm{R}\) है तथा रेख़ा \(y=m x+c\) परवलय को दो बिंदुओं \(P\) तथा \(Q\) पर काटती है। माना त्रिभुज \(\mathrm{PQR}\) का केन्द्रक, बिंदु \(\mathrm{G}(10,10)\) है। यदि \(\mathrm{c}-\mathrm{m}=6\) है, तो \((\mathrm{PQ})^2\) बराबर है।

संबंध \(\mathrm{R}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): \operatorname{gcd}(\mathrm{a}, \mathrm{b})=1,2 \mathrm{a} \neq \mathrm{b}, \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}\}\) :

यदि फलन \(f(x)=\log _e\left(\frac{2 x+3}{4 x^2+x-3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{x+2}\right) \) का प्रांत \((\alpha, \beta]\) है, तो \(5 \beta-4 \alpha\) का मान ........... है।

\(x^2(1+x)^{98}+x^3(1+x)^{97}+\) \(x^4(1+x)^{96}+\ldots \ldots . .+x^{54}(1+x)^{46}\) में \(x^{70}\) का गुणांक \({ }^{99} \mathrm{C}_p-{ }^{46} \mathrm{C}_{\mathrm{q}}\) है। तो \(\mathrm{p}+\mathrm{q}\) का एक संभावित मान ........... है।

माना \(\mathrm{x}=(8 \sqrt{3}+13)^{13}\) और \(\mathrm{y}=(7 \sqrt{2}+9)^9\) है। यदि \([\mathrm{t}]\) महत्तम पूर्णाक \(\leq \mathrm{t}\) है, तब

मान लीजिए \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=12 \vec{a}+4 \vec{b}\) और \(\overrightarrow{O C}=\vec{b}\), जहाँ \(O\) मूल बिंदु है। यदि \(S\) संलग्न भुजाओं \(O A\) और \(O C\) वाला समांतर चतुर्भुज है, तो \(\frac{\text { area of quadrilateral } O A B C}{\text { area of } S} \) का मान ज्ञात कीजिए।

\(\left(\frac{ x +1}{ x ^{2 / 3}- x ^{1 / 3}+1}-\frac{ x -1}{ x - x ^{1 / 2}}\right)^{10}, x \neq 0,1\) के प्रसार में ' \(x\) ' से स्वतंत्र पद बराबर है

यदि \(L =\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{16}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)\) तथा \(M =\cos  ^{2}\)\(\left(\frac{\pi}{16}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right)\) है, तो

\(\frac{1}{1 ! 50 !}+\frac{1}{3 ! 48 !}+\frac{1}{5 ! 46 !}+\ldots+\frac{1}{49 ! 2 !}+\frac{1}{51 ! 1 !}\)  का  मान है:

मान लीजिए \(O\) मूल-बिंदु है, \(\vec{OP} = \vec{a}\) और \(\vec{OQ} = \vec{b}\)। यदि \(R\) एक ऐसा बिंदु है जो \(\vec{OP}\) पर स्थित है और \(\vec{OP} = 5\vec{OR}\) है, तथा \(M\) एक ऐसा बिंदु है कि \(\vec{OQ} = 5\vec{RM}\) है, तो \(\vec{PM}\) बराबर है :

मान लीजिए \(\alpha, \beta\) समीकरण \(x^2 - x + p = 0\) के मूल हैं और \(\gamma, \delta\) समीकरण \(x^2 - 4x + q = 0\) के मूल हैं; जहाँ \(p, q \in \mathbf{Z}\). यदि \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P.) में हैं, तो \(|p + q|\) का मान है:

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?