भारानुसार समुद्री जल के विलयन में \(29.25 \% \mathrm{NaCl}\) और \(19 \% \mathrm{MgCl}_2\) है। समुद्री जल का सामान्य क्वथनांक_______\({ }^{\circ} \mathrm{C}\) (निकटतम पूर्णांक) मान लीजिये कि \(\mathrm{NaCl}\) और \(\mathrm{MgCl}_2 \quad 100 \%\) आयनीकृत हो जाते हैं। दिया गया है : \(\mathrm{K}_{\mathrm{b}}\left(\mathrm{H}_2 \mathrm{O}\right)=0.52 \mathrm{~K} \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}\) \(\mathrm{NaCl}\) और \(\mathrm{MgCl}_2\) के मोलर द्रव्यमान क्रमशः 58.5 और \(95 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}\) हैं।

\(0.1\, g\) लेड \((II)\) क्लोराइड को घोलकर एक संतृप्त विलयन पाने के लिए आवश्यक जल का न्यूनतम आयतन होगा, \((PbCl _{2}\) का \(K_{ sp }=3.2 \times 10^{-8}, Pb\) का परमाणु भार \(\left.=207 \,u \right)\)

\(298 \,K\) पर शुद्ध द्रव \(A\) तथा \(B\) के वाष्प दाब क्रमश: \(400\) तथा \(600 \,mmHg\) हैं। दोनों द्रवों को मिलाने पर उनके प्रारम्भिक आयतनों का योग उनके अंतिम मिश्रण के आयतन के बराबर है। मिश्रण में द्रव \(B\) का मोल अणु अंश \(0.5\) है। अंतिम विलयन का वाष्प दाब एवं \(A\) तथा \(B\) अवयवों का वाष्प प्रावस्था में मोल अणु अंश क्रमशः होंगे

निम्नलिखित में से समान रंग वाले आयनों (जलीय विलयन) का सही समुच्चय कोनसा है?

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन I: ऑक्सेलिक अम्ल बनाम \(\mathrm{KMnO}_4\) (तनु \(\mathrm{H}_2 \mathrm{SO}_4\) की उपस्थिति में) अनुमापन में विलयन को प्रारम्भ में \(60^{\circ} \mathrm{C}\) तक गर्म करने की आवश्यकता होती है, परंतु फेरस अमोनियम सल्फेट (FAS) बनाम \(\mathrm{KMnO}_4\) अनुमापन में (तनु \(\mathrm{H}_2 \mathrm{SO}_4\) की उपस्थिति में) गर्म करने की आवश्यकता नहीं होती है।
कथन II: ऑक्सेलिक अम्ल बनाम \(\mathrm{KMnO}_4\) अनुमापन में, उच्च तापमान पर \(\mathrm{MnSO}_4\) का प्रारंभिक निर्माण होता है, जो बाद में आगे की अभिक्रिया के लिए उत्प्रेरक के रूप में कार्य करता है। FAS बनाम \(\mathrm{KMnO}_4\) के मामले में, गर्म करने से वायु की ऑक्सीजन द्वारा \(\mathrm{Fe}^{2+}\) का \(\mathrm{Fe}^{3+}\) में ऑक्सीकरण हो जाता है और प्रयोग में त्रुटि आ सकती है।
उपरोक्त कथनों के प्रकाश में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए

नीचे दो कथन दिए गए है। एक को अभिकथन \(\mathrm{A}\) एवं दूसरे को कारण \(\mathrm{R}\) कहा गया है। अभिकथन \(A\) :- कार्बन दो महत्वपूर्ण ऑक्साइड़ बनाता है \(-\mathrm{CO}\) एवं \(\mathrm{CO}_2\) । \(\mathrm{CO}\) उदासीन जबकि \(\mathrm{CO}_2\) अम्लीय प्रकृति का है। कारण \(R\) :- \(\mathrm{CO}_2\) जल के साथ संयुक्त होकर कार्बोनिक अम्ल बनाता है जबकि \(\mathrm{CO}\) जल में अल्प विलेय है। उपर्युक्त कथनों के प्रकाश में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुने -

नीचे दो कथन दिए गए हैं :
कथन (I) : समूह 14 के तत्वों की प्रथम आयनन एन्थैल्पी समूह 13 के संगत तत्वों की तुलना में अधिक होती है।
कथन (II) : समूह 13 के तत्वों के गलनांक और क्वथनांक सामान्यतः समूह 14 के संगत तत्वों की तुलना में बहुत अधिक होते हैं। उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें :

दो कण \(A\) तथा \(B\) त्रिज्या क्रमश: \(R _{1}\) व \(R _{2}\) वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के अनुदिश समान कोणीय चाल \(\omega\) से गति कर रहे है। \(t =0\) पर इनकी स्थितियाँ तथा गति की दिशा चित्र में दर्शायी गयी है। \(t =\frac{\pi}{2 \omega}\) पर सापेक्षिक वेग \(\overrightarrow{ v }_{ A }-\overrightarrow{ v }_{ B }\) का मान होगा।

माना \(f ( x )=\frac{ x }{\sqrt{ a ^{2}+ x ^{2}}}-\frac{ d - x }{\sqrt{ b ^{2}+( d - x )^{2}}}, x \in R\) जहाँ \(a , b\) तथा \(d\) शून्येतर वास्तविक अचर हैं, तो 

\(x\)-अक्ष को \((3,0)\) पर स्पर्श करता हुआ तथा \(y\)-अक्ष पर \(8\) लम्बाई का अंतःखण्ड (intercept) बनाता हुआ एक वृत्त निम्न में से किस बिन्दु से होकर जाता है ?

माना अवकल समीकारण \(x \log _e x \frac{d y}{d x}+y=x^2 \log _e x\), \((\mathrm{x}>1)\) का हल \(\mathrm{y}=\mathrm{y}(\mathrm{x})\) है। यदि \(\mathrm{y}(2)=2\), हो तो \(\mathrm{y}(\mathrm{e})\) बराबर है।

माना \(\hat{a}\) तथा \(\hat{b}\) दो इकाई सदिश इस प्रकार है कि \(|(\hat{ a }+\hat{ b })+2(\hat{ a } \times \hat{ b })|=2\) है। यदि \(\hat{ a }\) तथा \(\hat{ b }\), के मध्य कोण \(\theta \in(0, \pi)\) कथन के मध्य है, तो : \((S1)\): \(2|\hat{a} \times \hat{b}|=|\hat{a}-\hat{b}|\) \((S2):(\hat{ a }+\hat{ b })\) पर \(\hat{ a }\) का प्रक्षेप \(\frac{1}{2}\)

यदि \(\int(\sin x )^{\frac{-11}{2}}(\cos x )^{\frac{-5}{2}} dx =\)\(-\frac{p_1}{q_1}(\cot x)^{\frac{9}{2}}-\frac{p_2}{q_2}(\cot x)^{\frac{5}{2}}-\frac{p_3}{q_3}(\cot x)^{\frac{1}{2}}+\frac{p_4}{q_4}(\cot x)^{\frac{-3}{2}}+C,\)जहाँ \(p_i\) और \(q_i\) धनात्मक पूर्णांक हैं और \(\operatorname{gcd}\left(p_i, q_i\right)\)\(=1\) \(i =1,2,3,4\) के लिए, और C समाकलन स्थिरांक है, तो \(\frac{15 p_1 p_2 p_3 p_4}{q_1 q_2 q_3 q_4}\) = ___ है।