જો પ્રદેશ \(\left\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}): 1+\mathrm{x}^2 \leq \mathrm{y} \leq \min \{\mathrm{x}+7,11-3 \mathrm{x}\}\right\}\) નું ક્ષેત્રફળ A હોય, તો 3 A = ___

\((0,0),(0,41) \) અને \( (41,0)\)  શિરોબિંદુઓ વાળા ત્રિકોણના અંદરના ભાગમાં આવેલા હોય અને જેના બંને યામેા પૂર્ણાંકો હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા .. . . .. છે. .

અહી \(9\) ભિન્ન દડાને  \(4\) પેટીઓ \(B_{1}, B_{2}, B_{3}\) અને \(B_{4}\) માં વહેચાવના છે. જો પેટી \(B_{3}\) માં ત્રણ દડા આવે તેની સંભાવના \(k\left(\frac{3}{4}\right)^{9}\) હોય તો  \(\mathrm{k}\) એ  . . . .  અંતરાલમાં હશે.

4 ઇજનેરો, 2 ડોકટરો અને 10 પ્રોફેસરોમાંથી ઓછામાં ઓછા 3 ઇજનેરો અને ઓછામાં ઓછો 1 ડોક્ટર ધરાવતી 12 વ્યક્તિઓની સમિતિ બનાવવાની સંભાવના __________ છે.

જો વિધેય \(f(x)=2 x^3-9 \mathrm{a}^2+12 \mathrm{a}^2 x+1, \mathrm{a}>0\) ને \(x=\alpha\) આગળ સ્થાનીય મહતમ હોય અને \(x=\alpha^2\) આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ  હોય, તો \(\alpha\) અને \(\alpha^2\) સમીકરણ ........... નાં બીજ છે.

લંબચોરસ \(ABCD\) કે જેના શિરોબિંદુઓ \(A\) અને \(B\) એ \(x\)-અક્ષ પર આવેલા હોય અને શિરોબિંદુઓ \(C\) અને \(D\) એ પરવલય \(y = x ^{2}-1\) પર હોય અને \(x\) -અક્ષની નીચે હોય તો આ લંબચોરસનું મહતમ ક્ષેત્રફળ મેળવો 

સમીકરણ \(x+y+z=21\), જ્યાં \(x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4\), ના પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા \(..........\) છે.

બે સદિશો \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) નો વિચાર કરો. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને સમાંતર છે અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને લંબ છે. તો \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) નું મૂલ્ય શું છે?

જો દિગ્ગુણોત્તર \(3, – 1, 0\) વાળી એક રેખાની દિશામાં, બિંદુ \(P (43, \alpha, \beta), \beta<0\) નુ રેખા \(\vec{ r }=4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{k}), \mu \in R\) થી અંતર \(13 \sqrt{10}\) હોય, તો \(\alpha^2+\beta^2=\) ___ .

ધારો કે \(x * y=x^{2}+y^{3}\) અને \((x * 1) * 1=x *(1 * 1)\).તો \(2 \sin ^{-1}\left(\frac{x^{4}+x^{2}-2}{x^{4}+x^{2}+2}\right)\) નું એક મૂલ્ય ........ છે 

\(\left\{(x, y): y^2 \leq 2 x\right.\) અને \(\left.y \geq 4 x-1\right\}\) દ્વારા મળતા પ્રદેશ નું ક્ષેત્રફળ ............. છે.

એક અતિવલયની નાભિઓ \(( \pm 2,0)\) અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા \(\frac{3}{2}\) છે. અતિવલય પરના પ્રથમ ચરણમાંના એક બિંદુ પર, રેખા \(2 x+3 y=6\) ને લંબ એક સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે.જો સ્પર્શક દ્વારા \(x-\) અને \(y-\)અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડો અનુક્રમે \(a\) અને \(b\) હોય, તો \(|6 a|+|5 b|=..........\)

નીચે આપેલ શ્રેણીનો સરવાળો મેળવો. \(1 + 6 + \frac{{9({1^2} + {2^2} + {3^2})}}{7} + \frac{{12({1^2} + {2^2} + {3^2} + {4^2})}}{9} + \frac{{15({1^2} + {2^2} + .... + {5^2})}}{{11}} + ...\) \(15\) પદ સુધી