\(f\left( x \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\sqrt {\frac{{1 + \sin x}}{{1 - \sin x}}} } \right),x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)\) પર વિચાર કરો. \(y = f\left( x \right)\) પરના બિંદુ \(x = \frac{\pi }{6}\) આગળનો અભિલંબ . . . . બિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે. .

ધારો કે \( a_{1}, a_{2}, a_{3},..... \) એ વધતા જતા ધન પદોની એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે કે જેથી \( a_{2} . a_{3} . a_{4}=64 \) અને \( a_{1}+a_{3}+a_{5}=\frac{813}{7} \).
તો \( a_{3}+a_{5}+a_{7} \) = ........... છે.

અલગ અલગ સમાંતર શ્રેણી કે જેનું પ્રથમ પદ  \(100\) અને અંતિમ પદ \(199\) છે અને સમાન્ય તફાવત પૂર્ણાંક છે. જો આવી સમાંતર શ્રેણીના બધાજ સામાન્ય તફાવતનો સરવાળો મેળવો કે જેમાં ઓછામાં ઓછા \(3\) પદો હોય અને વધુમાં વધુ \(33\) પદો હોય.

જો \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(x\frac{{dy}}{{dx}} + 2y = {x^2}\) નો ઉકેલ છે અને \(y(1)=1\) હોય તો  \(y\left( {\frac{1}{2}} \right)\) મેળવો.

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.

એક થેલીમાં \(6\) સફેદ અને \(4\) કાળા દડાઓ છે.એક પાસાને એક વાર ફેંકવામાં આવે છે અને પાસા પર આવેલ સંખ્યા જેટલી સંખ્યામાં દડાઓ થેલીમાંથી યાદચ્છિક રીતે લેવામાં આવે છે. લેવામાં આવેલ તમામ દડાઓ સફેદ હોવાની સંભાવના \(.......\) છે.

જો વિધેય \(f(x)=2 x^3-9 \mathrm{a}^2+12 \mathrm{a}^2 x+1, \mathrm{a}>0\) ને \(x=\alpha\) આગળ સ્થાનીય મહતમ હોય અને \(x=\alpha^2\) આગળ સ્થાનીય ન્યૂનતમ  હોય, તો \(\alpha\) અને \(\alpha^2\) સમીકરણ ........... નાં બીજ છે.

જો \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=\sin (2 x), y(0)=\frac{3}{4}\) નો ઉકેલ હોય, તો \(y\left(\frac{\pi}{8}\right) =\) ............

ધારોકે \(\lambda_1, \lambda_2\) એ \(\lambda\) ની એવી કિંમતો છે કે જેના માટે બિંદુઓ \(\left(\frac{5}{2}, 1, \lambda\right)\) અને \((-2,0,1)\) સમતલ \(2 x+3 y-6 z+7=0\) થી સમાન અંતરે આવેલ છે. જો \(\lambda_1 > \lambda_2\), તો બિંદુ \(\left(\lambda_1-\lambda_2, \lambda_2, \lambda_1\right)\) નું રેખા \(\frac{x-5}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+7}{2}\) થી અંતર \(..........\)છે.

શ્રેણિકો \(A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\) અને \(B = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}\) નો વિચાર કરો. જો શ્રેણિકો P અને Q એવા હોય કે જેથી \(PA = B\) અને \(AQ = B\), તો \(2(P + Q)\) ના વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળાનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય _______ છે.

જો \(a, b, c\) સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને \(a^2, b^2, c^2\) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય કે જેથી \( a <  b\) \( < c\) અને \(a+b+c\,= \frac{3}{4}\) હોય તો \(a\) ની કિમત મેળવો. 

ધારો કે \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-2, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-2, & 0 < x \leq 2\end{array}\right.\) અને \(h(x)=f(|x|)+|f(x)|\). તો \(\int_{-2}^2 \mathrm{~h}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) = .....................

ધારો કે \(\left(x+\sqrt{x^3-1}\right)^5+\left(x-\sqrt{x^3-1}\right)^5, x\gt1\) ના વિસ્તરણમાં \(x^7, x^5, x^3\) અને \(x\) ના સહગુણકો અનુક્રમે \(\alpha, \beta, \gamma\) અને \(\delta\) છે. જો u અને v સમીકરણો
\(\begin{aligned}
& \alpha u+\beta v=18 \\
& \gamma u+\delta v=20
\end{aligned}\)
ને સંતોષે છે, તો \(u+v\) = __________