JEE Mains · Maths · STD 11 - 8. sequence and series
ધારોકે \(S_K=\frac{1+2+\ldots+K}{K}\) અને \(\sum \limits_{j=1}^n S_j^2=\frac{n}{A}\left(B n^2+C n+D\right)\), જ્યાં \(A, B, C, D \in N\) અને \(A\) ની ન્યૂનતમ કિમત છે. તો
- A \(A + B\) એ \(D\) વડે વિભાજ્ય છે.
- B \(A+B=5(D-C)\)
- C \(A + C + D\) એ \(B\) વડે વિભાજ્ય છે.
- D \(A + B + C + D\) એ \(5\) વિભાજ્ય છે
Answer & Solution
Correct Answer
(A) \(A + B\) એ \(D\) વડે વિભાજ્ય છે.
Step-by-step Solution
Detailed explanation
\(S _{ k }=\frac{ k +1}{2}\) \(S _{ k }^2=\frac{ k ^2+1+2 k }{4}\) \(\therefore \sum \limits_{ j -1}^{ n } S _{ j }^2=\frac{1}{4}\left[\frac{ n ( n +1)(2 n +1)}{6}+ n + n ( n +1)\right]\) \(=\frac{ n }{4}\left[\frac{( n +1)(2 n +1)}{6}+1+ n +1\right]\)…
See the Complete Solution
Get step-by-step explanations for this and 2.5 Lakh+ more JEE, NEET & CET questions.
- Unlock all solutions
- Practice the full chapter
- Track accuracy across PYQs
4.8 rated on Google Play · 14,000+ reviews
More questions from Maths
- જો પરવલય \(y^2 = 16x\) ના નાભિજીવાનું એક અંત્યબિંદુ \((1, 4),\) હોય તો નાભિજીવાની લંબાઈ મેળવો .JEE Mains 2019 Hard
- ધારોક \(\mathrm{ABC}\) એ \(15 \sqrt{2}\) ચો. એકમ ક્ષેત્રફળ વાળો એક ત્રિકોણ છે અને સદિશો \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\hat{i}+2 \hat{j}-7 \hat{k}\), \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\mathrm{a} \hat{i}+\mathrm{b} \hat{j}+c \hat{k}\) તથા \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=6 \hat{i}+\mathrm{d} \hat{j}-2 \hat{k}, \mathrm{~d}>0\) છે. તો ત્રિકોણ \(\mathrm{ABC}\) ની મોટામાં મોટી બાજુની લંબાઈ નો વર્ગ ............. છે.JEE Mains 2024 Hard
- જો સુરેખ સમીકરણ સંહતિ \(2 x + y - z =7\) ; \(x-3 y+2 z=1\) ; \(x +4 y +\delta z = k\), જ્યાં \(\delta, k \in R\) ને અસંખ્ય ઉકેલો હોય,તો \(\delta+ k=\dots\dots\dots\)JEE Mains 2022 Medium
- વર્તુળ \(C_{1}\) એ ઉગમબિંદુ \(O\) માંથી પસાર થાય છે અને ધન \(x-\) અક્ષ પર \(4\) લંબાઇનો વ્યાસ છે. રેખા \(y =2 x\) એ વર્તુળ \(C _{1}\) પર જીવા \(OA\) બનાવે છે. અહી \(C _{2}\) માં \(OA\) વ્યાસ છે. જો \(C _{2}\) નો બિંદુ \(A\) આગળનો સ્પર્શક \(x\)-અક્ષને બિંદુ \(P\) અને \(y\)-અક્ષને \(Q\) માં છેદે છે તો \(QA : AP\) ની કિમંત મેળવો.JEE Mains 2022 Hard
- ધારોકે \(M=\left[\begin{array}{cc}0 & -\alpha \\ \alpha & 0\end{array}\right]\), જ્યાં \(\alpha\) શુન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને \(N=\sum_{k=1}^{49} M^{2 k}\).જો \(\left(I-M^{2}\right) N=-2 I\) હોય તો \(\alpha\) નું ધનપૂણાંક મૂલ્ય \(\dots\dots\)છે.JEE Mains 2022 Hard
- ધારો કે \(f(x)=x-1\) અને \(g(x)=e^x\) માટે \(x \in \mathbb{R}\). જો \(\frac{d y}{d x}=\left(e^{-2 \sqrt{x}} g(f(f(x)))-\frac{y}{\sqrt{x}}\right), y(0)=0\), તો \(y(1)\) ___ છે.JEE Mains 2025 Medium
More PYQs from JEE Mains
- જો \((2,3,9),(5,2,1),(1, \lambda, 8)\) અને \((\lambda, 2,3)\) એ સમતલીય છે તો \(\lambda\) ની બધીજ શક્ય બધીજ કિમંતોનો ગુણાકાર મેળવો.JEE Mains 2022 Hard
- જો સંકલન \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{x^2 \cos x}{1+\pi^x}+\frac{1+\sin ^2 x}{1+e^{\sin x^{323}}}\right) d x=\frac{\pi}{4}(\pi+a)-2\) હોય, તો \(a\) નું મૂલ્ય ........... છે.JEE Mains 2024 Medium
- અહી \(\mathrm{X}\) એ વિતરણનું યાર્દચ્છિક ચલ છે.
જો મધ્યક \(X\) એ \(2.3\) અને \(X\) નું વિચરણ \(\sigma^{2}\) હોય તો \(100 \sigma^{2}\) ની કિમંત મેળવો.\(\mathrm{x}\) \(-2\) \(-1\) \(3\) \(4\) \(6\) \(\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{x})\) \(\frac{1}{5}\) \(\mathrm{a}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{5}\) \(\mathrm{~b}\) JEE Mains 2021 Hard - જો \(y = \tan^{-1}\left(\dfrac{3\cos x - 4\sin x}{4\cos x + 3\sin x}\right) + 2\tan^{-1}\left(\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right)\) હોય, તો \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) આગળ \(\dfrac{dy}{dx}\) ની કિંમત બરાબર છે:JEE Mains 2026 Medium
- ધારો કે \(a,b \in R,\left( {a \ne 0} \right)\). જો વિધેય \(f\) એ વ્યાખ્યાયિત છે કે \(f\left( x \right)\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2{x^2}}}{a}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,0 \le x < 1\,\,\,\\
a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,1 \le x < \sqrt 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\
\frac{{2{b^2} - 4b}}{{{x^3}}}\,\,\,,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \le x < \infty
\end{array} \right.\,\,\,\,\) એ \(\left[ {0,\infty } \right)\) પર સતત હોય તો \((a, b)\) જોડ મેળવો.JEE Mains 2016 Hard - જો વિધેય \(f(x)=\log _7\left(1-\log _4\left(x^2-9 x+18\right)\right)\) નો પ્રદેશ \((\alpha, \beta) \cup(\gamma, \delta)\) હોય, તો \(\alpha+\beta+\gamma+\delta\) = __________JEE Mains 2025 Medium