ધારો કે રેખા \(\frac{x-2}{\alpha}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z+2}{2}\) એ સમતલ \(x+3 y-2 z+\beta=0 \) માં આવેલી છે તો \((\alpha+\beta)\) ની કિમંત મેળવો.

\(A=\{1,2,3,4\} \) અને \( R=\{(1,2),(2,3),(1,4)\}\) એ ગણ \(A\) પર વ્યાખાયિત છે. \(S\) એ \(A\) પર સામ્ય વિધેય છે. જ્યાં \(R \subset S\) અને \(S\) ના ઘટકોની સંખ્યા \(n\) છે. તો \(n\) ની ન્યુનત્તમ કિંમત ........... છે.

એક ત્રિકોણ ABC માટે, ધારો કે \( \vec{p}=\vec{BC}, \vec{q}=\vec{CA} \) અને \( \vec{r}=\vec{BA} \). જો \( |\vec{p}|=2\sqrt{3}, |\vec{q}|=2 \) અને \( cos\hat{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}} \) જ્યાં θ એ \( \vec{P} \) અને \( \vec{q} \) વચ્ચેનો ખૂણો છે તો \( |\vec{p}\times(\vec{q}-3\vec{r})|^{2}+3|\vec{r}|^{2} \) = ........... છે.

પ્રકાશનું એક કિરણ , રેખા \(x + \sqrt 3 y = \sqrt 3 \) ઉપર ગતિ કરતાં \(x- \) અક્ષ પર પહોંચી પરાવર્તન પામે છે. તો પરિવર્તિત કિરણોનું સમીકરણ . . . .. . થાય. .

ધારોકે \(\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) અને \(\vec{c}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}\) જો \(\vec{b}\) એવો સદિશ હોય કે જેથી \(\vec{a}=\vec{b} \times \vec{c}\) અને \(|\vec{b}|^2=50\) હોય,તો \(|72-| \vec{b}+\left.\vec{c}\right|^2 \mid=.........\)

બિંદુ \(\mathrm{z}\) એ આર્ગંડ સમતલમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી \(\arg \left(\frac{\mathrm{z}-2}{\mathrm{z}+2}\right)=\frac{\pi}{4}\) થાય છે તો \(|z-9 \sqrt{2}-2 i|^{2}\) ની ન્યૂનતમ કિમંત્ત મેળવો.

પરવલય \(y = x^2 +1\) અને તેની પરના બિંદુ \((2, 5)\) આગળ નો સ્પર્શક અને યામાંક્ષો દ્વારા  આવૃત પ્રદેશ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો .

ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=((\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\hat{i}+\hat{j})) \times \hat{i}) \times \hat{i}\). તો \(\overrightarrow{\mathrm{b}}\) પર \(\overrightarrow{\mathrm{a}}\) ના પ્રક્ષેપનો વર્ગ ............. છે.

અહી \(A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\) અને \(B = A - I\) છે. જો  \(\omega=\frac{\sqrt{3} i -1}{2}\) હોય તો ગણ \(\left\{ n \in\{1,2, \ldots, 100\}: A ^{ n }+(\omega B )^{ n }= A + B \right\}\) ના ઘટકોની સંખ્યા  \(..........\) થાય.

જો રેખાઓ \(\frac{x-\lambda}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{1}\) અને \(\frac{x-\sqrt{3}}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}\) વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર \(1\) હોય, તો \(\lambda\) ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો ........... છે.

ધારો કે \(O\) ઉગમબિંદુ છે, \(\vec{OP} = \vec{a}\) અને \(\vec{OQ} = \vec{b}\). જો \(\vec{OP}\) પર બિંદુ \(R\) એવું છે કે \(\vec{OP} = 5\vec{OR}\), અને બિંદુ \(M\) એવું છે કે \(\vec{OQ} = 5\vec{RM}\), તો \(\vec{PM}\) બરાબર છે:

વિધાન \(-1\) : સમીકરણો  \(x + \left( {\sin \,\alpha } \right)y + \left( {\cos \,\alpha } \right)z = 0\) ;\(x + \left( {\cos \,\alpha } \right)y + \left( {\sin \alpha } \right)z = 0\) ;\(x - \left( {\sin \,\alpha } \right)y - \left( {\cos \alpha } \right)z = 0\) ; ને શૂન્યતર ઉકેલ એ \(\alpha \) ની માત્ર એકજ કિમત કે જે અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) તેના માટે ધરાવે છે . વિધાન \(-2\) : સમીકરણ કે જે \(\alpha \) સ્વરૂપ માં છે \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\sin {\mkern 1mu} \alpha }&{\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{\sin {\mkern 1mu} \alpha } \\ 
  {\cos {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \sin {\mkern 1mu} \alpha }&{ - \cos {\mkern 1mu} \alpha } 
\end{array}} \right| = 0\) નું એક માત્ર બીજ અંતરાલ \(\left( {0\,,\,\frac{\pi }{2}} \right)\) માં છે .

જો એક વક્ર \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) એ બિંદુ \((1,2)\) માંથી પસાર થાય અને વિકલ સમીકરણ \(2 \mathrm{x}^{2} \mathrm{dy}=\left(2 \mathrm{xy}+\mathrm{y}^{2}\right) \mathrm{dx}\) નો ઉકેલગણ હોય તો \(\mathrm{f}\left(\frac{1}{2}\right)\) ની કિમત શોધો