JEE Mains · Maths · STD 12 - 7.2 definite integral
ધારો કે \(f: R \rightarrow R\) એ સતત વિઘેય છે અને પ્રત્યેક \(x \in R\) માટે \(f(x)+f(x+ k )= n\) નું સમાધાન કરે છે, જયા \(k >0\) અને \(n\) એક ધન પૂણાંક છે. જો \(I _{1}=\int\limits_{0}^{4 nk } f(x) d x\) અને \(I _{2}=\int\limits_{- k }^{3 k } f(x) d x\) તો
- A \(I _{1}+2 I _{2}=4 nk\)
- B \(I _{1}+2 I _{2}=2 nk\)
- C \(I _{1}+ nI _{2}=4 n ^{2} k\)
- D \(I _{1}+ nI _{2}=6 n ^{2} k\)
Answer & Solution
Correct Answer
(C) \(I _{1}+ nI _{2}=4 n ^{2} k\)
Step-by-step Solution
Detailed explanation
\(f ( x )+ f ( x + k )= n\) \(\Rightarrow f ( x )= f ( x +2 k )\) \(f ( x )\) is periodic with period \(2 k\) \(I_{1}=\int\limits_{0}^{4 n k} f(x) d x=2 n \int\limits_{0}^{2 k} f(x) d x\) \(I_{2}=\int_{-k}^{3 k} f(x) d x=2 \int_{0}^{2 k} f(x) d x\) Now,…
See the Complete Solution
Get step-by-step explanations for this and 2.5 Lakh+ more JEE, NEET & CET questions.
- Unlock all solutions
- Practice the full chapter
- Track accuracy across PYQs
4.8 rated on Google Play · 14,000+ reviews
More questions from Maths
- જો \(\int {{x^5}\,{e^{ - {x^2}}}\,dx\, = \,g\,(x)\,{e^{ - {x^2}}} + \,c,} \) તો \(g(-1)\) મેળવો. (કે જ્યાં \(C\) સંકલનનો અચળાંક છે)JEE Mains 2019 Hard
- ધારો કે વિધેય,
\(f(x)= \begin{cases}-3 a x^2-2, & x \lt 1 \\ a^2+b x, & x \geqslant 1\end{cases}\)
તમામ \(x \in \mathbf{R}\) માટે વિકલનીય છે, જ્યાં \(\mathbf{a}\gt1, \mathbf{b} \in \mathbf{R}\) છે. જો \(y=f(x)\) અને રેખા \(y=-20\) દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ \(\alpha+\beta \sqrt{3}, \alpha, \beta \in Z\) હોય, તો \(\alpha+\beta\) નું મૂલ્ય ________ છે.JEE Mains 2025 Hard - વિધેય \(\mathrm{F}:[3,5] \rightarrow \mathrm{R}\) એ અંતરાલ \((3,5)\) પર બે વખત વિકલનીય છે કે જેથી \(\mathrm{F}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\) \(\int_{3}^{x}\left(3 t^{2}+2 t+4 F^{\prime}(t)\right) \,d t\) થાય. જો \(F^{\prime}(4)=\frac{\alpha e^{\beta}-224}{\left(e^{\beta}-4\right)^{2}}\) તો \(\alpha+\beta\) ની કિમંત મેળવો.JEE Mains 2021 Hard
- જો \({\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
x&{\sin \,\theta }&{\cos \,\theta } \\
{\sin \,\theta }&{ - x}&1 \\
{\cos \,\theta }&1&x
\end{array}} \right|\) અને \({\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
x&{\sin \,2\theta }&{\cos \,\,2\theta } \\
{\sin \,2\theta }&{ - x}&1 \\
{\cos \,\,2\theta }&1&x
\end{array}} \right|\), \(x \ne 0\) ;તો દરેક \(\theta \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)\) માટે . . . .JEE Mains 2019 Hard - \(\lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{cosec} x\)\(\left(\sqrt{2 \cos ^2 x+3 \cos x}-\sqrt{\cos ^2 x+\sin x+4}\right)\) = __________JEE Mains 2025 Medium
- જો વર્તુળ \(x^{2}+y^{2}-2 x-6 y+6=0\) નો કોઈ એક વ્યાસ એ કેન્દ્ર \((2, 1)\) વાળા બીજા એક વર્તુળ \('C'\) ની જીવા હોય, તો તે વર્તુળની ત્રિજ્યા .......... થાય.JEE Mains 2021 Medium
More PYQs from JEE Mains
- સંકલિત \(\mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} \frac{{dx}}{{1 + \cos x}} = \) . . . .JEE Mains 2017 Medium
- જો \(\left(1+\frac{2}{3}+\frac{6}{3^{2}}+\frac{10}{3^{3}}+\ldots \text { upto } \infty\right)^{\log _{(0.25)}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots . \text { uptow }\right)}\) ની કિમંત \(l\) હોય તો \(l^{2}\) મેળવો.JEE Mains 2021 Hard
- અંતરાલ \([0,2 \pi]\) માં સમીકરણ \(x +2 \tan x =\frac{\pi}{2}\) ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.JEE Mains 2021 Hard
- \(1+\frac{1+3}{2!}+\frac{1+3+5}{3!}+\frac{1+3+5+7}{4!}+\ldots\) નો \(\infty\) પદો સુધીનો સરવાળો = __________JEE Mains 2025 Easy
- પ્રથમ 100 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી, પૂરવણી રહિત બે સંખ્યાઓ, પ્રથમ a અને પછી b એમ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો \(a-b \geqslant\) હોય, તેની સંભાવના \(\frac{ m }{ n }\), ગુ.સા.અ. (m, n) = 1 હોય, તો \(m+n\) = ___ .JEE Mains 2026 Medium
- જે \(\int \frac{\cos x-\sin x}{\sqrt{8-\sin 2 x}} d x=a \sin ^{-1}\left(\frac{\sin x+\cos x}{b}\right)+c\) જ્યાં \(c\) સંકલનનો અચળાંક છે, તો ક્રમયુકત જોડ \((a, b) =\) ..........JEE Mains 2021 Hard