JEE Mains · Maths · STD 12 - 5. continuity and differentiation
ધારો કે \(f:[2,4] \rightarrow R\) એ એવું વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી \(\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1, x \in[2,4]\) જ્યાં \(f(2)=\frac{1}{2}\) અને \(f(4)=\frac{1}{4}\) છે. નીચેના બે વિધાનો ધ્યાને લો. \((A)\) : પ્રત્યેક \(x \in[2,4]\) માટે. \(f(x) \leq 1\) \((B)\) : પ્રત્યેક \(x \in[2,4]\) માટ \(f(x) \geq \frac{1}{8}\) તો,
- A ફક્ત વિધાન \((B)\) જ સાચું છે.
- B વિધાન \((A)\) કે વિધાન \((B)\) કોઈપણ સાચું નથી.
- C વિધાનો \((A)\) અને \((B)\) બંંને સાચાં છે.
- D ફક્ત વિધાન \((A)\) જ સાચું છે.
Answer & Solution
Correct Answer
(C) વિધાનો \((A)\) અને \((B)\) બંંને સાચાં છે.
Step-by-step Solution
Detailed explanation
\(x \operatorname{lnxf} f^{\prime}(x)+\ln x f(x)+f(x) \geq I, x \in[2,4]\) And \(f (2)=\frac{1}{2}, f (4)=\frac{1}{4}\) Now \(x \ln x \frac{d y}{d x}+(\ln +1) y \geq 1\) \(\frac{ d }{ dx }( y \cdot x \ln x ) \geq 1\) \(\frac{ d }{ dx }( f ( x ) x \ln x ) \geq 1\)…
See the Complete Solution
Get step-by-step explanations for this and 2.5 Lakh+ more JEE, NEET & CET questions.
- Unlock all solutions
- Practice the full chapter
- Track accuracy across PYQs
4.8 rated on Google Play · 14,000+ reviews
More questions from Maths
- ધારો કે \(f(x)=2^x-x^2, x \in \mathbb{R}\). જો વક્રો \(y=f(x)\) અને \(y=f^{\prime}(x)\) એ \(x\)-અક્ષને જ્યાં છેદે તે બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે \(m\) અને \(n\) હોય, તો \(m+n\) ની લધુત્તમ શક્ય કિંમત ........... છે.JEE Mains 2024 Hard
- \(\alpha, \beta, z \in C\) અને \(\lambda>1\) માટે ,જો \(\sqrt{\lambda-1}\) એ વર્તુળ \(|z-\alpha|^2+|z-\beta|^2=2 \lambda\) ની ત્રિજ્યા છે તો \(|\alpha-\beta|\) ની કિમંત \(.............\) મેળવો.JEE Mains 2023 Hard
- જો શ્રેણી \(\frac{1}{5}+\frac{2}{65}+\frac{3}{325}+\frac{4}{1025}+\frac{5}{2501}+\ldots\) ના પ્રથમ દસ પદ્દોનો સરવાળો \(\frac{ m }{ n }\) છે, જ્યાં \(m\) અને \(n\) પ૨સ્પર અવિભાજય સંખ્યાઓ છે, તો \(m + n =\dots\dots\dots\)JEE Mains 2022 Hard
- ધારો કે સંકલ \(I=\int_{0}^{10} \frac{[x] e^{[x]}}{e^{x-1}} d x,\) જ્યાં \([ x ]\) એ \(x\) અથવા \(x\) થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો \(I\) \(= .....\)JEE Mains 2021 Hard
- એક પાસાની બે સપાટી પર 1 અંક છે, બે સપાટી પર 2 અંક છે, એક સપાટી પર 3 અંક છે અને એક સપાટી પર 4 અંક છે. બીજા પાસાની એક સપાટી પર 1 અંક છે, બે સપાટી પર 2 અંક છે, બે સપાટી પર 3 અંક છે અને એક સપાટી પર 4 અંક છે. જ્યારે બંને પાસા એકસાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે સંખ્યાઓનો સરવાળો 4 અથવા 5 મળવાની સંભાવના કેટલી છે?JEE Mains 2025 Medium
- દરેક \(p\,>\,0\), સદીશ \(\vec{v}_{2}=2 \hat{i}+(p+1) \hat{j}\) એ સદીશ \(\vec{v}_{1}=\sqrt{3} p \hat{i}+\hat{j}\) ને \(\theta\) ખૂણે વિષમઘડી દિશામાં ભ્રમણ કરી ને મેળવી શકાય છે. જો \(\tan \theta=\frac{(\alpha \sqrt{3}-2)}{4 \sqrt{3}+3}\) હોય તો \(\alpha\) ની કિમંત મેળવો.JEE Mains 2021 Hard
More PYQs from JEE Mains
- ધારો કે \(S =\{z \in C :|z-2| \leq 1, z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq 2\} . છ\) ધારો કે \(|z-4 i|\) એ \(z_{1} \in S\) અને \(z_{2} \in S\) આગળ અનુક્રમે ન્યુનતમ અને મહત્તમ કિંમતો ધારણ કરે છે.જો \(5\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)=\alpha+\beta \sqrt{5}\) જ્યાં \(\alpha\) અને \(\beta\) એ પૂર્ણાંકો હોય,તો \(\alpha+\beta\) નું મૂલ્ય \(\dots\dots\dots\)છે.JEE Mains 2022 Hard
- ધારો કે વિધેય \(f:[0,2] \rightarrow R\) એ \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{\min \left[x^2, x-[x]\right\}}, & x \in[0,1) \\e^{\left[x-\log _e x\right]}, & x \in[1,2]\end{array}\right. \) મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે, જ્યાં \([t]\) એ \(t\) અથવા તેનાથી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાક દર્શાવે છે. તો સંકલ \(\int \limits_0^2 x f(x) d x\) નું મૂલ્ય \(......\) છે.JEE Mains 2023 Hard
- જો સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 3 હોય અને તેના પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો તેના પછીના ચાર પદોના સરવાળાના પાંચમા ભાગ બરાબર હોય, તો પ્રથમ 20 પદોનો સરવાળો = __________JEE Mains 2025 Medium
- જો \(\int\limits_{0}^{2}\left(\sqrt{2 x}-\sqrt{2 x-x^{2}}\right) d x=\) \(\int\limits_{0}^{1}\left(1-\sqrt{1-y^{2}}-\frac{y^{2}}{2}\right) d y+\int\limits_{1}^{2}\left(2-\frac{y^{2}}{2}\right) d y+I\) હોય,તો \(I=\dots\dots\dots\)JEE Mains 2022 Hard
- જો રેખાઓ \(x-y+1=0\), \(x-2 y+3=0\) અને \(2 x-5 y+11=0\) નાં છેદબિંદુઓ ત્રિકોણ \(A B C\) ની બાજુનાં મધ્યબિંદુઓ છે તો ત્રિકોણ \(\mathrm{ABC}\) નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.JEE Mains 2021 Hard
- જો \(R\,= \{(x,y) : x,y \in N\, and\, x^2 -4xy +3y^2\, =0\}\), કે જ્યાં \(N\) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ગણ હોય તો \(R\) એ .. .JEE Mains 2013 Hard