ધારો કે \(\theta\) એ સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે, જ્યા \(|\vec{a}|=4,|\vec{b}|=3\) અને \(\theta \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right) \) તો  \(|(\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})|^{2}+4(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}\) ની કિમત......... છે.

અહી \([t]\) એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે. તો \(\int_{-3}^{101}\left([\sin (\pi x)]+e^{[\cos (2 \pi x)]}\right) d x\) ની કિમંત મેળવો.

અહી \(\mathrm{n}\) એ સમીકરણ \(z^{2}+3 \bar{z}=0\) ના ઉકેલની સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેમાં  \(\mathrm{z}\) એ સંકર સંખ્યા છે તો \(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{k}}\) ની કિમંત મેળવો.

જો વર્તુળ \(4 x^{2}+4 y^{2}+120 x+675=0\) ની જીવાને સંગત રેખા એ બિંદુ \((-30,0)\) માંથી પસાર થાય છે અને પરવલય \(\mathrm{y}^{2}=30 \mathrm{x}\) નો સ્પર્શક બને છે તો જીવાની લંબાઈ મેળવો.

જો \(\left(a x-\frac{1}{b x^2}\right)^{13}\) માં \(x^7\) નો સહગુણક અને \(\left(a x+\frac{1}{b x^2}\right)^{13}\) માં \(x^{-5}\) નો સહગુણક સરખા હોય,તો \(a^4 b^4=.........\)

ધારોકે  \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}-y=2-e^{-x}\) નો ઉકેલ છે કે જેથી \(\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)\) એ અનંત નથી. જો \(x=0\) આગળ વક્રનો સ્પર્શકનો \(x-\)અંતખંડ અને \(y\)-અંતખંડ અનુક્રમે  \(a\) અને \(b\) હોય તો \(a-4 b\) ની કિમંત \(....\) થાય.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{{{{\cot }^3}\,x - \tan \,x}}{{\cos \left( {x + \pi /4} \right)}}\) = 

પરવલય \(y = x^2 -1\) અને તેના બિંદુ \((2, 3)\) આગળનો સ્પર્શક અને \(y -\) અક્ષ દ્વારા  આવૃત પ્રદેશ નું ક્ષેત્રફળ મેળવો .

ધારો કે \(\overrightarrow{ c }\) એ સદિશો \(\overrightarrow{ a }=\hat{ i }+\hat{ j }-\hat{ k }\) અને \(\overrightarrow{ b }=\hat{ i }+2 \hat{ j }+\hat{ k }\) ને લંબ સદિશ છે.  જો \(\overrightarrow{ c } \cdot(\hat{ i }+\hat{ j }+3 \hat{ k })=8\) હોય, તો \(\overrightarrow{ c } \cdot(\overrightarrow{ a } \times \overrightarrow{ b })\)નું મૂલ્ય ..... છે.

વક્ર \(y=x^5-20 x^3+50 x+2\) એ \(x\)-અક્ષને કેટલી વાર ક્રોસ કરશે. ?

ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) એવો સદીશ છે કે જેથી \((\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}) \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{c}} \times(-2 \overrightarrow{\mathrm{a}}+3 \overrightarrow{\mathrm{b}})\). જો \((2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot \vec{c}=1670\) હોય, તો \(|\vec{c}|^2=\) ...........

\(35\) સેમી. ઊંચાઈ તથા \(14\) સેમી. વ્યાસવાળા લંબ્વત્તીય શંકુ આકારના (શિરોબિંદુ નીચે તરફ હોય તેવા) પાત્રમાં \(1\) સેમી \({ }^{3}\) / સેકન્ડનાં દરથી પાણી ભરવામાં આવે છે. જ્યારે પાણીનાં સ્તરની ઊંચાઈ \(10\) સેમી. થાય, ત્યારે પાત્રનાં ભીના શંકવાકાર પૃષફળનો વધવાનો દર (સેમી \({ }^{3}\) / સેકન્ડમાં) ............. છે.

ધારો કે   \(\mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R}\) \(\mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) અને  \(L_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m} \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{n} \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) એ ત્રણ એવી રેખાઓ છે કે જેથી \(L_1\) એ \(L_2\) ને લંબ છે તથા \(L_3\) એ \(L_1\) અને \(L_2\) બંનેને લંબ છે. તો \(L_3\) પર આવેલ બિંદુ ........... છે.