\( 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx \) = ........... છે.

ધારો કે \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}\left(1+x y^2\left(1+\log _e x\right)\right), x > 0, y(1)=3\) નો ઉકેલ વક્ર છે. તો \(\frac{y^2(x)}{9}=................\).

સમીકરણ \(\left(x^2-9 x+11\right)^2-(x-4)(x-5)=3\) ના બધા સંમેય બીજનો ગુણાકાર = __________

ધારોકે પરવલય \(x^2=4 y\) નું રેખા \(x-y=1\) માંનું પ્રતિબિંબ \((y+a)^2=b(x-c)\), \(a, b, c \in N\) છે. તો \(a+b+c=\) ___ .

જેના માટે \(40^n\) એ 60! ને ભાગે, તેવી \(n\) ની મહત્તમ કિંમત ___ છે.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ચેસ બોર્ડમાંથી કોઈપણ બે ચોરસની યાર્દચ્છિક રીતે પસંદગી કરવામાં આવે છે તો તે બે ચોરસમાં એક બાજુ સામાન્ય હોય તેની સંભાવના મેળવો.

બે સદિશો \(\overrightarrow{\mathrm{u}}=3 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\lambda \hat{\mathrm{k}}, \lambda \gt 0\) નો વિચાર કરો. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \(\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{7}}\right)\) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે \(\overrightarrow{\mathrm{v}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}_1+\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\), જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને સમાંતર છે અને \(\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\) એ \(\overrightarrow{\mathrm{u}}\) ને લંબ છે. તો \(\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_1\right|^2+\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}_2\right|^2\) નું મૂલ્ય શું છે?

એક વર્ગમાં  \(5\) છોકરી અને \(7\) છોકરા છે તો \(2\) છોકરી અને \(3\) છોકરાની કેટલી ટીમો બનાવી શકાય કે જેથી કોઈ બે ચોક્કસ છોકરા \(A\) અને \(B\) એકજ ટીમમાં ન હોય.

ધારો કે રેખા \(2 x-y=10\) ને લંબ રેખા એ પ૨વલય \(y^2=4(x-9)\) ને બિંદુ \(P\) પર સ્પર્શે છે. બિંદુ \(P\) નું વર્તુળ \(x^2+y^2-14 x-8 y+56=0\) ના કેન્દ્ર થી અંતર ............ છે.

જો વર્તુળ \(x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)\) રેખા \(y-2 x=3\) ની સાપેક્ષે તેની જીવાની લંબાઇ \(r\) હોય તો \(r^{2}\) ની કિમત શોધો 

જો રેખા \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 4}}{3}\) એ સમતલ \(lx + my - z = 9\) માં આવેલી હોય ,તો \({l^2} + {m^2} = \;.\;.\;.\;.\;.\;\)

ધારોકે \(\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) અને \(\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}, \lambda \in Z\) બે સદિશો છે. ધારોકે \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) તથા \(\overrightarrow{d}\) એ \(y z\)-સમતલમાં માન 2 વાળો એક સદિશ છે. જો \(|\overrightarrow{ c |}=\sqrt{53}\) હોય, તો \((\overrightarrow{ c } \cdot \overrightarrow{ d })^2\) ની મહત્તમ શક્ય કિંમત ___ છે.

જો \(A =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 1\end{array}\right]\),તો: