यदि \({ }^{ n } P _{ r }={ }^{ n } P _{ r +1}\) तथा \({ }^{ n } C _{ r }={ }^{ n } C _{ I -1}\) है, तो \(r\) बराबर है

यदि एक त्रिभुज \(ABC\) की तीन भुजाओं \(AB , BC\) तथा \(CA\) पर क्रमशः \(3,5\) तथा \(6\) आंतरिक बिंदु हैं, तो इन बिंदुओं को शीर्ष लेकर बनाये जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या है

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

समीकरण \(( x +1)^{2}+| x -5|=\frac{27}{4}\) के वास्तविक मूलों की संख्या है ............ |

समुच्चय \(\{\alpha \in\{1,2, \ldots, 100\}: \operatorname{HCF}(\alpha, 24)=1\}\) के सभी अवयवों का योगफल होगा \(..............\)

एक थैले में 5 नीली और 4 पीली गेंदे हैं। इसमें से तीन गेंदे यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X और Y क्रमशः नीली और पीली गेंदों की संख्या को दर्शाते हैं। यदि \(\bar{X}\) और \(\bar{Y}\) क्रमशः X और Y के माध्य हैं, तो \(7 \bar{X}+4 \bar{Y}\) = ...........

यदि परवलय \(y ^{2}=2 x\) पर डाले गये तीन अभिलम्ब, बिंदु \((a, 0), a \neq 0\), से होकर जाते हैं, तो ' \(a\) ' निम्न में से किस से अधिक होना चाहिए ?

यदि \(\int \frac{\log \left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right)}{\sqrt{1+t^{2}}} d t=\frac{1}{2}(g(t))^{2}+C\) है, जहाँ \(C\) एक अचर है, तो \(g (2)\) बराबर है

\(\int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{\left(1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right)} d x\) बराबर है

मान लीजिए \(A\) एक \(3 \times 3\) आव्यूह इस प्रकार है कि \(A^T \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\2\\2\end{bmatrix}\), \(A^T \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\1\\1\end{bmatrix}\), \(A \begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\4\\4\end{bmatrix}\) और \(A \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\3\\1\end{bmatrix}\)। यदि \(\det(A) = 1\) है, तो \(\det(\operatorname{adj}(A^2 + A))\) का मान बराबर है:

दो समुच्चय \(A =\{ x \in z :|(| x -3|-3)| \leq 1\}\) और \(B=\left\{x \in R -\{1,2\}: \frac{(x-2)(x-4)}{x-1} \log _e(|x-2|)=0\right\}\) पर विचार करें। तब आच्छादक फलनों \( f:A\rightarrow B \) की संख्या ___ है।

माना \(\mathrm{S}=\{1,2,3,5,7,10,11\}\) है। \(\mathrm{S}\) के अरिक्त उपसमुच्चयों, जिनके सभी अवयवों का योग \(3\) का एक गुणज है, की संख्या है__________. 

यदि सभी \(\mathrm{a} \in \mathrm{R}-\{1\}\) का समुच्चय, जिसके लिए समीकरण \((1-a) x^2+2(a-3) x+9=0\) के मूल धनात्मक हैं, \((-\infty,-\alpha] \cup[\beta, \gamma)\) है, तो \(2 \alpha+\beta+\gamma\) = __________