જો રેખા \(\alpha x+2y=1\), જ્યાં \(\alpha\in\mathbb{R}\), અતિવલય \(x^{2}-9y^{2}=9\) ને છેદતી નથી, તો \(\alpha\) નું એક શક્ય મૂલ્ય ___ છે.

\(\int_{\pi /6}^{\pi /4} {\frac{{dx}}{{\sin \,2x\,\left( {{{\tan }^5}\,x + {{\cot }^5}\,x} \right)}}} \) મેળવો.

ધારો કે \(f: {R} \rightarrow {R}\) એ \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1-\cos 2 x}{x^2}, & x<0 \\ \alpha, & x=0, \\ \frac{\beta \sqrt{1-\cos x}}{x}, & x>0\end{array}\right.\) મુજબ વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે, જ્યાં \(\alpha, \beta \in {R}\). જે \(x=0\) પ૨ \(f\) સતત હોય, તો \(\alpha^2+\beta^2=\) ...........

જો \(f\) એ \(x\) નું સંયોજિત વિધેય છે કે જે  \(f\left( u \right) = \frac{1}{{{u^2} + u - 2}}\,,\,u\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) ના સ્વરૂપે આપેલ છે . તો \(x\) ની કેટલી કિમંતો માટે \(f\) એ અસતત થાય.

આપેલ પૈકી ક્યૂ વિધાન વિધેય \(g(\alpha)\) કે જ્યાં  \(\alpha \in R\) માટે અસત્ય થાય કે જ્યાં  \(g(\alpha)=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{\alpha} x}{\cos ^{\alpha} x+\sin ^{\alpha} x} d x\) આપેલ  છે .

રેખાઓ  \(\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\) અને  \(\frac{{x - 1}}{0} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) વચ્ચેનું ટૂંકામાં ટૂંકું અંતર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.  

ધારો કે \(A\) અને \(B\) એ કક્ષા \(3\) ના એવા બે ચોરસ શ્રેણિકો છે કે જેથી \(|A|=3\) અને \(|B|=2\). તો \(\left|\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \mathrm{A}(\operatorname{adj}(2 \mathrm{~A}))^{-1}(\operatorname{adj}(4 \mathrm{~B}))(\operatorname{adj}(\mathrm{AB}))^{-1} \mathrm{AA}^{\mathrm{T}}\right|\) = ..............

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

વિધેય \(f(x)=x^x, x>0\) એ .......... અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધે છે.

જો માહિતી \(65,68,58,44,48,45,60, \alpha, \beta, 60\) જ્યાં \(\alpha>\beta\) નો મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે \(56\) અને \(66.2\) હોય, તો \(\alpha^2+\beta^2 =\) ...........

જો \(\vec a\) અને \(\vec b\) બે એકમ સદીશો છે કે જેથી \(\left| {\vec a\, + \,\vec b} \right| = \sqrt 3 \) અને  \(\vec c = \vec a\, + \,2\vec b + 3\,(\vec a \times \vec b)\) હોય તો  \(2\left| {\vec c} \right|\) મેળવો.

જો \(a_1, a_2, a_3, ……\) એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જ્યાં \(a_6 = 2\) આપેલ છે  તો શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત મેળવો કે જેથી \(a_1a_4a_5\) નો ગુણાકાર મહતમ થાય .

\(2 f(a)-f(b)+3 f(c)+\) \(f ( d )=0\) થાય તેવા એક - એક વિધેયો  \(f :\{ a , b , c , d \} \rightarrow\) \(\{0,1,2, \ldots ., 10\}\) ની સંખ્યા ......... છે.