જો કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ત્રણ પદોનો સરવાળો અને ગુણાકાર અનુક્રમે \(33\) અને \(1155\) થાય તો આ સમાંતર શ્રેણીના \(11^{th}\) માં પદની કિમત મેળવો. 

ધારો કે \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 5 \end{bmatrix}\). તો શ્રેણિક \(\text{adj}(\text{adj}(2(\text{adj}A)^{-1}))\) ના બધા ઘટકોનો સરવાળો કેટલો થશે?

રેખા \(\frac{x-1}{0}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}\) અને સમતલો \(x+y+z+1=0\) અને \(2 x-y+z+3=0\) ની છેદરેખાની વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર શોધો 

અહી \([\lambda]\) એ મહતમ પૃણાંક વિધેય છે.  \(\lambda\) ની કિમંતો નો ગણ મેળવો કે જેથી સમીકરણ સંહતિ  \(x+y+z=4,3 x+2 y+5 z=3\) \(9 x+4 y+(28+[\lambda]) z=[\lambda]\) નો ઉકેલ મળે.

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

ત્રણ એકમ સદિશો \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) એ \({|\vec{a}-\vec{b}|^2}+{|\vec{b}-\vec{c}|^2}+{|\vec{c}-\vec{a}|^2}=9\) તથા \({|2 \vec{a}+k \vec{b}+k \vec{c}|}=3\), નું સમાધાન કરે, તો \(k\) નું ધન મૂલ્ય ___ છે.

જો \(\int \frac{\mathrm{d} \theta}{\cos ^{2} \theta(\tan 2 \theta+\sec 2 \theta)}=\lambda \tan \theta+2 \log _{\mathrm{e}}|\mathrm{f}(\theta)|+\mathrm{C}\)  કે જ્યાં \(\mathrm{C}\) સંકલન અચળાંક છે તો \((\lambda, f(\theta))\) ની ક્રમયુક્ત જોડ મેળવો.

અહી  \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) છે કે જેથી  \(f(1)=3, f(-2)\) \(=\lambda\) અને \(f (3)=4\). જો \(f (0)+ f (1)+ f (-2)+ f (3)=14\) હોય તો  \(\lambda\)  ની કિમંત \(...\) થાય.

\(f(x)=\left|\log _{ e } x\right|-|x-1|\) મુજબ વ્યાખ્યાયિત વિધેય \(f:(0, \infty) \rightarrow R\) માટે નીચેના ત્રણ વિધાનો ધ્યાને લોઃ
(I) દરેક x > 0 માટે 5 વિકલનીય છે.
(II) (0, 1) માં f વધે છે.
(III) \((1, \infty)\) માં f ઘટે છે.
તો,

જો \(f(x)\) એ સતત વિધેય છે અને  \(f\left( {\frac{9}{2}} \right) = \frac{2}{9}\), તો  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f \left( {\frac{{1 - \cos \,3x}}{{{x^2}}}} \right)\) ની કિમંત મેળવો .

જો સમીકરણોની સંહતિ
\(\begin{aligned}
& 2 x-y+z=4 \\
& 5 x+\lambda y+3 z=12 \\
& 100 x-47 y+\mu z=212
\end{aligned}\)
અનંત ઉકેલો ધરાવે છે, તો \(\mu-2 \lambda\) = ___

અહી \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}=1+x e^{y-x},-\sqrt{2}\,<\,x\,<\,\sqrt{2}, y(0)=0\) નો ઉકેલ દર્શાવે છે તો \(\mathrm{x} \in(-\sqrt{2}, \sqrt{2})\) માટે \(y(x)\) ની ન્યૂનતમ કિમંત મેળવો.

\(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left\{4+\left(2+\frac{1}{n}\right)^2+\left(2+\frac{2}{n}\right)^2+\ldots+\left(3-\frac{1}{n}\right)^2\right\}=............\)