ધારો કે સદિશ \(\vec{b}=\lambda \hat{i}+4 \hat{k}, \lambda\gt0\) નો સદિશ \(\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}\) પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ \(\vec{c}\) છે. જો \(|\vec{a}+\vec{c}|=7\), તો સદિશો \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) દ્વારા રચાતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ________ છે.

ધારો કે \(\hat{u}\) અને \(\hat{v}\) એકમ સદિશો છે જે એક લઘુકોણ પર નમેલા છે જેથી \(|\hat{u}\times\hat{v}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). જો \(\vec{A}=\lambda\hat{u}+\hat{v}+(\hat{u}\times\hat{v})\) હોય, તો \(\lambda\) બરાબર છે:

ધારો કે  \(B=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 5\end{array}\right]\)અને \(\mathrm{A}\) એવા \(2 \times 2\) શ્રણિકો છે કે જેથી \(A B^{-1}=A^{-1}\). જો \(B C B^{-1}=A\) અને \(C^4+\alpha C^2+\beta I=O\) હોય, તો \(2 \beta-\alpha=\) ...........

\(2 f(a)-f(b)+3 f(c)+\) \(f ( d )=0\) થાય તેવા એક - એક વિધેયો  \(f :\{ a , b , c , d \} \rightarrow\) \(\{0,1,2, \ldots ., 10\}\) ની સંખ્યા ......... છે.

સમીકરણ \(\log_{(x+1)}(2x^2+5x+3) = 4 - \log_{(2x+3)}(x^2+2x+1)\) ના તમામ વાસ્તવિક હલના વર્ગોનો સરવાળો _______ બરાબર છે.

જો \(\mathrm{A}(-2,-1), \mathrm{B}(1,0), \mathrm{C}(\alpha, \beta)\) અને \(\mathrm{D}(\gamma, \delta)\) એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ \(A B C D\) ના શિરોબિંદુઓ છે. જો બિંદુ \(C\) એ રેખા \(2 x-y=5\) ઉપર અને બિંદુ \(D\) એ રેખા \(3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=6\) ઉપર છે. તો \(|\alpha+\beta+\gamma+\delta| =\) ...........

ધારો કે M એ \(3 \times 3\) કક્ષાના તમામ વાસ્તવિક શ્રેણિકોનો ગણ દર્શાવે છે અને ધારો કે \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\). ધારો કે
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { અને } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) અને \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
જો \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), તો \(\alpha\) = ___

વિધેય \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{[x]^2-3[x]-10}}\) નો પ્રદેશ \(...........\) છે. (જ્યાં [x] એ \(\leq x\) અથવા તેનાથી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાક દર્શાવે છે.)

રેખાઓ \(\vec r = \left( {\hat i + \hat j} \right) + \lambda \left( {\hat i + 2\hat j - \hat k} \right)\,\) અને  \(\vec r = \left( {\hat i + \hat j} \right) + \mu \left( { - \hat i + \hat j - 2\hat k} \right)\) ને સમાવતા સમતલથી બિંદુ \((2, 1, 4)\) નું લંબઅંતર મેળવો. 

જો  \(y(x)=\cot ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right), x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) હોય તો  \(\frac{d y}{d x}\) at \(x=\frac{5 \pi}{6}\) ની કિમંત મેળવો.

જો શ્રેણી \(\frac{1}{1 \cdot(1+\mathrm{d})}+\frac{1}{(1+\mathrm{d})(1+2 \mathrm{~d})}+\ldots+\frac{1}{(1+9 \mathrm{~d})(1+10 \mathrm{~d})}\) નો સરવાળો \(5\) હોય, તો \(50 \mathrm{~d}=\) ...........

વર્તુળ \({x^2} + {y^2} - 8x - 8y - 4 = 0\) ને બહારથી સ્પર્શતા તથા \( x-\) અક્ષને પણ સ્પર્શતા હોય તેવા વર્તૂળોના કેન્દ્રો . . . . . પર આવેલ છે.

\(\sum \limits_{ r =0}^{20}{ }^{50- r } C _{6}\) ની કિમત શોધો