\(\int {\frac{{dx}}{{(1 + \sqrt x ) \cdot \sqrt x \sqrt {1 - x} }}} \) મેળવો.

\(50\) અવલોકનોનાં મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે \(15\) અને \(2\) છે. એવું જાણવામાં આવ્યું કે એક ખોટું અવલોકન એ રીતે લેવામાં આવેલ કે જેથી સાચાં અને ખોટાં અવલોકનોનો સરવાળો \(70\) થાય. જો સાયી મધ્યક \(16\) હોય,તો સાયું વિચરણ \(\dots\dots\dots\) થશે.

\(10\) વિદ્યાર્થીઓના ગુણના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે \(50\) અને \(12\) જોવામાં આવેલ છે.ત્યાર બાદ એવુ જોવામાં આવ્યું કે બે ગુણ \(20\) અને \(25\) ને ખોટી રીતે અનુક્રમે \(45\) અને \(50\) વાંચવામાં આવ્યા હતા. તો સાચું વિચરણ \(......\) છે.

ધારોકે P = [P_ij] અને Q = [q_ij] એ કક્ષા 3 ના એવા બે ચોરસ શ્રેણિકો છે કે જેથી q_ij = 2^(i+j-1) P_ij અને det(Q) = 2¹⁰. તો det(adj(adj P)) નું મૂલ્ય ___ છે.

જો \(S\) અને \(S^{\prime}\) એ ઉપવલય \(\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1\) ના નાભિકેન્દ્રો હોય અને P એ ઉપવલય પરનું બિંદુ હોય, તો \(\min \left(S P . S^{\prime} \mathrm{P}\right)+\) \(\max \left(\mathrm{SP} . \mathrm{S}^{\prime} \mathrm{P}\right)\) = __________

\(\frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{-1}\) અને \(\frac{x+3}{2}=\frac{y-6}{1}=\frac{z-5}{3}\) વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર \(\dots\dots\dots\)છે.

ધારો કે \(A\) એ એક \(3 \times 3\) વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જેથી \(A^2(A-2 I)-\) \(4(\mathrm{~A}-\mathrm{I})=\mathrm{O}\) જ્યાં I અને O અનુક્રમે એકમ શ્રેણિક અને શૂન્ય શ્રેણિક છે. જો \(A^5=\alpha A^2+\beta A+\gamma I\), જ્યાં \(\alpha, \beta\) અને \(\gamma\) વાસ્તવિક અચળાંકો છે, તો \(\alpha+\beta+\gamma\) = ___

કોઈક \(\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) માટે, ધારોકે અતિવલય \(x^2-y^2 \sec ^2 \theta=8\) ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે \(e_1\) અને \(l_2\) છે. તથા ઉપવલય \(x^2 \sec ^2 \theta+y^2=6\) ની ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે \(e_2\) અને \(l_2\) છે. જો \(e_1^2=e_2^2\left(\sec ^2 \theta+1\right)\) હોય, તો \(\left(\frac{l_1 l_2}{e_1 e_2}\right) \tan ^2 \theta\) = ___ .

ચોરસ \(ABCD\) ના બધાજ શિરોબિંદુઓ વક્ર \(x ^{2} y ^{2}=1\) પર આવેલ છે અને તેમના મધ્યબિંદુઓ પણ આ વક્ર પર આવેલ હોય તો ચોરસ \(ABCD\) નું ક્ષેત્રફળ મેળવો.

\(40\) વિદ્યાર્થીઓનો એક સમૂહ \(3\) વિષયો - ગણિતશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર ની પરીક્ષામાં ઉપસ્થિત થાય છે. એવું જોવામાં આવ્યુ છે કે બધા જ વિદ્યાર્થીઓ ઓછામાં ઓછા એક વિષયમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(20\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(25\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, \(16\) વિદ્યાર્થીઓ રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(11\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બંનેમાં ઉતીર્ણ થયા છે, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્ર માં ઉતીર્ણ થયા, વધુમાં વધુ \(15\) વિદ્યાર્થીઓ ગણિતશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં ઉતીર્ણ થયા છે. ત્રણેય વિષયમાં ઉતીર્ણ થનાર વિદ્યાર્થીઓની મહત્તમ સંખ્યા ........... છે.

ધારો કે \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ: \(\dfrac{dy}{dx}+\left(\dfrac{6x^2+(3x^2+2x^3+4)e^{-2x}}{(x^3+2)(2+e^{-2x})}\right)y=2+e^{-2x}\), \(x \in (-1,2)\), નો ઉકેલ છે, જે \(y(0)=\dfrac{3}{2}\) ને સંતોષે છે. જો \(y(1)=\alpha(2+e^{-2})\) હોય, તો \(\alpha\) બરાબર છે:

ધારો કે વર્તુળ  \(C _{1}: x^{2}+y^{2}=2\) ના બિંદુ \(M (-1,1)\) આગળનો સ્પર્શક એ વર્તુળ \(C _{2}:(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=5\) ને બે ભિન્ન બિંદુઓ \(A\) અને \(B\) માં છેદ્દે છે. ને \(C_{2}\) ના બિંદુઓ \(A\) અને \(B\) આગળના સ્પર્શકો \(N\) માં છેદે, તો ત્રિકોણ \(ANB\) નું ક્ષેત્રફળ\(=\dots\dots\)

શ્રેણીઓ \(S _1=3+7+11+15+19+\ldots\) અને \(S _2=1+6+11+16+21+\ldots\) નું સામાન્ય \(8\)મું પદ \(............\) છે.