\(\int \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x=\)

\(\begin{aligned} & \text { Let } \mathrm{I}=\int \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x \\ & \text { Put } \mathrm{e}^x-\mathrm{l}=\mathrm{t}^2 \\ & \Rightarrow \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=2 \mathrm{t} \cdot \mathrm{dt} \\ & \Rightarrow \mathrm{d} x=\frac{2 \mathrm{t}}{\mathrm{t}^2+1} \mathrm{dt} \\ & \therefore \quad \mathrm{I}=\int \mathrm{t} \cdot \frac{2 \mathrm{t}}{\mathrm{t}^2+1} \mathrm{dt}=\int \frac{2 \mathrm{t}^2}{\mathrm{t}^2+1} \mathrm{dt} \\ & \quad=\int \frac{2\left(\mathrm{t}^2+1\right)-2}{\mathrm{t}^2+1} \mathrm{dt} \\ & \quad=2 \int \mathrm{dt}-2 \int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^2+1} \\ & \quad=2 \mathrm{t}-2 \tan ^{-1} \mathrm{t}+\mathrm{c} \\ & = \\ & \therefore \sqrt{\mathrm{e}^x-1}-2 \tan ^{-1} \sqrt{\mathrm{e}^x-1}+\mathrm{c}\end{aligned}\)